Inégalité (1)

soit a,b,c >=0 , tel que ab+bc+ca >0 :
Prouver que :
.
2) Déterminez le cas d'égalité .

Oty a écrit:

soit a,b,c >=0 , tel que ab+bc+ca >0 :
Prouver que :
.
2) Déterminez le cas d'égalité .

c'est facile Mr''oty'' il suffit de remarquer que :


[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?T=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\frac{a^{2}}{ab+ac}+\frac{b^{2}}{bc+ba}+\frac{c^{2}}{ca+cb}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq%20\frac{\left%20(%20a+b+c%20\right%20)^{2}}{2(ab+bc+ca)}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\frac{1}{2}\left%20(2+%20\frac{\left%20a^{2}+b^{2}+c^{2}%20}{(ab+bc+ca)}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}%20\right%20)\geq\frac{1}{2}\left%20(2+%203\sqrt[3]{\frac{\left%20a^{2}+b^{2}+c^{2}%20}{(ab+bc+ca)}\times%20\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\times%20\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}%20\right%20})=\frac{5}{2}[/img]

C-S + AM-GM

le cas d'egalite est si a=b=c#0

oui Bravo