Préparation Aux Olympiades 2012/2013

Soit a un réel . Soit f :R=>R telle que , pour tout réel x :
f(x+a)=1/2+Racine (f(x)-[f(x)]² )
1) Prouver que f est périodique
2) Trouvez toutes les fonctions f

Le problème 19 est l'exercice 5 de L'IMO 1968.

Voici le problème 20 :

problème 21 :
determiner tous les entiers naturels x,y et z tels que : x²+y²+z²=2xyz

x²+y²+z²=2xyz (1)
x²+y²+z² est pair ==> x,y,z sont pairs ou x,y pairs et z impair .
Ainsi :
2xyz ≡ 0 (mod 4) ==> x²+y²+z² ≡ 0 (mod 4) ==> x,y,z sont tous pairs .
De là on peut poser x=2a , y=2b z=2c

(1) <==> a²+b²+c²=4abc ==> a,b,c sont pairs
Donc (1) <==> r²+s²+t²=8rst avec 2r=a , 2s=b , 2t=c ... Et à leurs tours ils sont pairs. Et ainsi de suite ça ne finira jamais. Il n'y a donc qu'une seule solution si x=y=z=0.


PS : on peut traiter ça d'une autre manière : ( 0 , 0 , 0 ) est une solution, supposons que (a,b,c) £ N* On a a²+b²+c² >= ab+bc+ac ==> 1/a+1/b+1/c <4 ==> (a,b,c) > 2 et 1/r+1/s+1/t <8 ==> (r,s,t) > 0 . Ca ne finira jamais aussi car pour que ça finisse un d'eux doit être impair ce qui est impossible

Problème 22:

(assez facile mais bon pour ne pas arrêter le jeu.)

Montrez que :



Somme de k=1 jusqu'à k=n.

on a 1/n+ 1/n+1 = 2n²+1/n²(n+1) nombre impair sur pair , donc appartient pas à n , soit Un la suite définie par Un= 1/n+1/n+1 , en donnant à n des valeur et en sommant on obtient le résultat ,( puisque on peut pas sommer "ma9amate mokhtalifa" )

Gauss-Maxwell a écrit:

on a 1/n+ 1/n+1 = 2n²+1/n²(n+1) nombre impair sur pair , donc appartient pas à n , soit Un la suite définie par Un= 1/n+1/n+1 , en donnant à n des valeur et en sommant on obtient le résultat ,( puisque on peut pas sommer "ma9amate mokhtalifa" )

Ta démo est extrêmement FLOUE ! Prière de l'éclaircir

Humber a écrit:

Gauss-Maxwell a écrit:

on a 1/n+ 1/n+1 = 2n²+1/n²(n+1) nombre impair sur pair , donc appartient pas à n , soit Un la suite définie par Un= 1/n+1/n+1 , en donnant à n des valeur et en sommant on obtient le résultat ,( puisque on peut pas sommer "ma9amate mokhtalifa" )

Ta démo est extrêmement FLOUE ! Prière de l'éclaircir

j'ai montré que la somme de 1/n +1/n+1 appartient pas à IN , (1/n+1/n+1= 2n²1 (nombre impair) sur n(n+1) nombre pair ! , donc en considérant la suite Un = (1/n)+(1/n+1) U_1= 1+1/2 appartient pas à IN , U_2= 1/2+1/3 appartient pas à IN ..... à Un-1 = 1/n-1 + 1/n appartient pas à IN , et puisque "lma9amate moukhtalifa " la somme des résultat appartient pas à IN ! desolé je ne maîtrise pas le latex

Pour
on a


Ainsi :

Problème 23

A partir des chiffres 1,2,...,9 on écrit tout les nombres formés par ces neuf chiffres (les neuf chiffres sont tous distincts) puis on les ordonne par ordre croissant comme suit:
123456789, 123456798,...., 987654321.
Quel est le nombre dont le rang est 100000.

Inégalité :
(a,b,c)>=0 tel que abc=8

Prouver que :

ma solution pour l'inégalité :
il suffit d'utilisé l'estimation suivante qui s'obtient facilement par AM-GM /
ou z>=0
le reste est facile .....

Wi, c plutot facile

legend-crush a écrit:

Wi, c plutot facile

Legend Crush , tu n'a qu'à proposer une suite de la démo ^^

message supprimé

hadik valuation 2 adiques , d dak le Nombre ,ila kane entier minimum atkone =0
3ndna v2(1/2) =-1 après atkméle f la suite atwéli <0
donc c'est pas un entier c tout !!

0 <Un< 1

dèja le triplet (2.3.6) est une solution de l'équation 1/x +1/y +1/z = 1

mais dèja l'idée Dyalék de Montrer que ce nombre est mabine deux
nombres mtab3ine chada !!
chapeau !!

Oty a écrit:

ma solution pour l'inégalité :
il suffit d'utilisé l'estimation suivante qui s'obtient facilement par AM-GM /
ou z>=0
le reste est facile .....

Réflexion zwina pour ton indication khoya Othmane !!

alidos a écrit:

hadik valuation 2 adiques , d dak le Nombre ,ila kane entier minimum atkone =0
3ndna v2(1/2) =-1 après atkméle f la suite atwéli <0
donc c'est pas un entier c tout !!

ok merci pour laide, je vais essayer de chercher sur google.
et pour 1/2 + 1/3 +1/6=1 j'avais pas remarqué, merci pour la correction, donc on va prouver que
2<Un<3 (javais pas fait attention au 1 tout à lheure) et le tour est joué ^^

elidrissi a écrit:

alidos a écrit:

hadik valuation 2 adiques , d dak le Nombre ,ila kane entier minimum atkone =0
3ndna v2(1/2) =-1 après atkméle f la suite atwéli <0
donc c'est pas un entier c tout !!

ok merci pour laide, je vais essayer de chercher sur google.
et pour 1/2 + 1/3 +1/6=1 j'avais pas remarqué, merci pour la correction, donc on va prouver que
2<Un<3 (javais pas fait attention au 1 tout à lheure) et le tour est joué ^^

Non Non , 3ndak ti7e f had Le piège , rah dik la suite est diverge
chofe M3aya kayna meme des(x,y,z,u,v,w) tel que par exemple 1/x+1/y+1/z+1/u+1/v =1 ou
=2 ou .......

Bref ana 3titék Ghir exemple bach Ndémontri lik bli ta méthode est une très bonne idée
oui mais makhdamache ,Amicalement

ok merci, je tacherais de m'en rappeler ^^

alidos a écrit:

Problème 23

A partir des chiffres 1,2,...,9 on écrit tout les nombres formés par ces neuf chiffres (les neuf chiffres sont tous distincts) puis on les ordonne par ordre croissant comme suit:
123456789, 123456798,...., 987654321.
Quel est le nombre dont le rang est 100000.

re
pour que 9 aille à sa place, il faut effectuer 8 changements, donc on aura 912345678, pour que 8 aille à sa place, elle effectue 1 passage de moins, soit 7., et ainsi de suite, donc pour que ça devienne 987654321, il faut 9*8/2=36 changements. apres 36 changements, le nombre redeviens comme avant, donc le changement est périodique de 72
100000 = 1388*72 +64
donc c'est le meme résultat que si on effectue 64 mouvements, soit 36 +28 changements, ce qui redevient de meme à effectuer 28 changements sur 987654321.

en fait c est pas trés clair, si aprés 987654321 se sera 987654312 ou 891234567, donc jai fait 2 cas (parce que jai mal saisi la question)

cas1

28=7*4=7*8/2=1+2+3+4+5+6+7 soit 1 mouvement pour remettre 1 et 2 à leurs place, 2 pour remettre 3 etc, donc se sera 912345678

cas2

28=8+7+6+5+2 ,soit 8 mouvements pour remettre 9 à sa place, 7 pour 8,6 pour 7,5pour 6 et 2 pour 5
donc: 435216789

donc selon la question, la reponse est soit 912345678 soit 435216789

elidrissi a écrit:

alidos a écrit:

Problème 23

A partir des chiffres 1,2,...,9 on écrit tout les nombres formés par ces neuf chiffres (les neuf chiffres sont tous distincts) puis on les ordonne par ordre croissant comme suit:
123456789, 123456798,...., 987654321.
Quel est le nombre dont le rang est 100000.

re
pour que 9 aille à sa place, il faut effectuer 8 changements, donc on aura 912345678, pour que 8 aille à sa place, elle effectue 1 passage de moins, soit 7., et ainsi de suite, donc pour que ça devienne 987654321, il faut 9*8/2=36 changements. apres 36 changements, le nombre redeviens comme avant, donc le changement est périodique de 72
100000 = 1388*72 +64
donc c'est le meme résultat que si on effectue 64 mouvements, soit 36 +28 changements, ce qui redevient de meme à effectuer 28 changements sur 987654321.

en fait c est pas trés clair, si aprés 987654321 se sera 987654312 ou 891234567, donc jai fait 2 cas (parce que jai mal saisi la question)

cas1

28=7*4=7*8/2=1+2+3+4+5+6+7 soit 1 mouvement pour remettre 1 et 2 à leurs place, 2 pour remettre 3 etc, donc se sera 912345678

cas2

28=8+7+6+5+2 ,soit 8 mouvements pour remettre 9 à sa place, 7 pour 8,6 pour 7,5pour 6 et 2 pour 5
donc: 435216789

donc selon la question, la reponse est soit 912345678 soit 435216789

Ta Réponse est malheureusement fausse Mr Elidrissi
La bonne réponse est : 358926471

ok. peut tu m expliquer un peu stp? (pas la réponse, mais j'ai mal compris les changements qu on effectue sur les nombres, genre me détailler plus l etape 3,4 etc...)
merci d'avance