direction mp mp*

ce topic s'adresse essentiellement a la preparation des concours de 2em annee prepa mais pas seulement tout personne interresse est la bienvenue commencant par cette exo;
exo 1
soit direction mp mp* Codeco27

1-calculer det(M)
2-calculer det(M) si M appartient a Mp(Z/pZ) avec p premier.
Bonne chance

galillee56 a écrit:: ce topic s'adresse essentiellement a la preparation des concours de 2em annee prepa mais pas seulement tout personne interresse est la bienvenue commencant par cette exo;
exo 1
soit
1-calculer det(M)
2-calculer det(M) si M appartient a Mp(Z/pZ) avec p premier.
Bonne chance

1-Pour la première question:
Je me souviens bien qu'on a fait lors d'un TD, le cas de n=2.
Voici ma proposition pour la généralisation:
Soit $direction mp mp* Gif$ la racine (n+1)-ième de l'unité.
Soit la matrice définie par: $direction mp mp* Gif$ .
On a $direction mp mp* Gif.latex?M.X_{n+1}=\begin{pmatrix}a_0+a_1.\omega^n+\cdots+a_n.\omega& a_0.\omega+a_1+\cdots+a_n.w^2 & \cdots & \cdots & \cdots&\cdots \\ a_0.\omega^n+a_1.w^{n-1}+\cdots+a_n & \cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ \cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \cdots &\cdots \\a_0.\omega+a_1+\cdots+a_n$ .
Je ne peux pas remplir trop de cases, car cela est difficile.
On peut simplifier la première colonne, on définit le polynôme $direction mp mp* Gif.latex?P_1(x)=a_0.x^{n+1}+a_1.x^n+\cdots+a_n$ .
Dans la première ligne, il y a le nombre $direction mp mp* Gif$ .
Dans la deuxième ligne, il y a le nombre $direction mp mp* Gif.latex?w^n$ .
Et ainsi de suite...
Même chose pour ce qui est des autres colonne: pour la j-ième colonne:
on définit le polynôme $direction mp mp* Gif.latex?P_j(x)=a_0.x^{n+1}+\cdots+a_n$ .
Dans la j-ième ligne, il y a le nombre $direction mp mp* Gif$ .
Et ainsi de suite...
D'où, on arrive à peine à avoir une chose du genre: $direction mp mp* Gif.latex?M.X_{n+1}=\begin{pmatrix}P_1(\omega) & \omega.P_2(\omega)& \omega^2.P_3(\omega) & \cdots & \omega^{n-1}.P_{n}(\omega)&\omega^n.P_{n+1}(\omega) \\ \omega^n.P_1(\omega) & P_2(\omega) & \omega.P_3(\omega)&\cdots &\omega^{n-2}.P_n(w) &\omega^{n-1}.P_{n+1}(\omega) \\ \omega^{n-1}.P_1(\omega) & \omega^{n}.P_2(\omega) & P_3(\omega) & \cdots & \cdots & \cdots\\ \cdots &\omega^{n-1}.P_2(\omega) & \cdots & P_4(\omega) & \cdots & \cdots \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & P_{n-1}(\omega) &\cdots \\ \omega.P_1(\omega) &\omega^2.P_2(\omega) &\cdots & \cdots &\omega^{n-1}$ .
Et ainsi: $direction mp mp* Gif.latex?\det(M.X_{n+1})=\begin{vmatrix}P_1(\omega) & \omega.P_2(\omega)& \omega^2.P_3(\omega) & \cdots & \omega^{n-1}.P_{n}(\omega)&\omega^n.P_{n+1}(\omega) \\ \omega^n.P_1(\omega) & P_2(\omega) & \omega.P_3(\omega)&\cdots &\omega^{n-2}.P_n(w) &\omega^{n-1}.P_{n+1}(\omega) \\ \omega^{n-1}.P_1(\omega) & \omega^{n}.P_2(\omega) & P_3(\omega) & \cdots & \cdots & \cdots\\ \cdots &\omega^{n-1}.P_2(\omega) & \cdots & P_4(\omega) & \cdots & \cdots \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & P_{n-1}(\omega) &\cdots \\ \omega.P_1(\omega) &\omega^2.P_2(\omega) &\cdots & \cdots &\omega^{n-1}$ .
Donc: $direction mp mp* Gif.latex?\det(M.X_{n+1})=\prod_{i=1}^{n+1}P_i(\omega)\begin{vmatrix}1& \omega & \omega^2 & \cdots & \omega^{n-1}&\omega^n \\ \omega^n & 1 & \omega &\cdots &\omega^{n-2} &\omega^{n-1} \\ \omega^{n-1} & \omega^{n} & 1 & \cdots & \cdots & \cdots\\ \cdots &\omega^{n-1} & \cdots & 1 & \cdots & \cdots \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & 1 &\cdots \\ \omega &\omega^2 &\cdots & \cdots &\omega^{n-1} & 1\end{vmatrix}=\prod_{i=1}^{n+1}P_i(\omega)$ .
On conclût donc que: $direction mp mp* Gif$ .
C'est ça l'idée, mais je vois que c'est difficile de manipuler le résultat.
Si quelqu'un aura une autre solution, elle sera la bienvenue.
2-Pour la deuxième question:
Je ne sais pas ce qui est demandé car je ne sais pas ce que la notation veut dire.
Merci d'éclaircir...
Remarque:
Cette solution est fausse, même j'ai fournit un large effort de rédaction...
Pour plus d'information, voir ici: https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_circulante.

bien joue mr.nmo
pour la 2em ca veut dire que mes a_i sont dans Z/pZ je garde les meme propriete et surtout a^p=a en gros je reduis modulo p Wink

galillee56 a écrit:: bien joue mr.nmo
pour la 2em ca veut dire que mes a_i sont dans Z/pZ je garde les meme propriete et surtout a^p=a en gros je reduis modulo p

Merci pour la réponse.
Je viens de constater que les polynômes que j'ai défini sont égaux, je les nomme P.
Le déterminant devient donc $direction mp mp* Gif.latex?\det(M)=P(\omega)^{n+1}=(a_0+a_1.\omega^{n}+\cdots+a_n$ .
Donc, dans la deuxième question, on est amené à calculer le produit: $direction mp mp* Gif.latex?\det(M)=(a_0+a_1.\omega^{p-1}+\cdots+a_{p-1}$ sous les contraintes imposées, et en tenant compte que $direction mp mp* Gif$ est une racine p-ième de l'unité.

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:: bien joue mr.nmo
pour la 2em ca veut dire que mes a_i sont dans Z/pZ je garde les meme propriete et surtout a^p=a en gros je reduis modulo p

Merci pour la réponse.
Je viens de constater que les polynômes que j'ai défini sont égaux, je les nomme P.
Le déterminant devient donc $direction mp mp* Gif.latex?\det(M)=P(\omega)^{n+1}=(a_0+a_1.\omega^{n}+\cdots+a_n$ .
Donc, dans la deuxième question, on est amené à calculer le produit: $direction mp mp* Gif.latex?\det(M)=(a_0+a_1.\omega^{p-1}+\cdots+a_{p-1}$ sous les contraintes imposées, et en tenant compte que $direction mp mp* Gif$ est une racine p-ième de l'unité.

Mr. nmo je pense qu'il y a une petite faute d'inattention les polynomes ne sont pas egaux en fait les Pi(w)=P(w^i)
direction mp mp* Codeco28

on ecrit M en fonction de J et on conclue.
toujours avec cette ecriture dans Mp(Z/pZ) on a (A+B)^p=A^p+B^p et on conclue.

Proposez un autre exerice, je crois que celui-là n'est pas intéressant ( juste calculatoire ) Very Happy

Mehdi.O a écrit:: Proposez un autre exerice, je crois que celui-là n'est pas intéressant ( juste calculatoire )

Je partage ton avis, je change donc de terrain vers l'analyse:
Exercice 2:
Soit $direction mp mp* Gif$ une fonction définie par: $direction mp mp* Gif.latex?(\forall \alpha\in\mathbb{R}): f(\alpha)=\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln(y)}{e^{\alpha$ .
Sachant que $direction mp mp* Gif$ s'annule au point $direction mp mp* Gif$ et que $direction mp mp* Gif$ s'annule au point $direction mp mp* Gif$ , calculez l'intégrale: $direction mp mp* Gif$ .
Bonne chance.

pour tout x de R, ln(y)/(exp(xy)+1)~ln(y)/2 quand y-->0+ comme y-->ln(y) est intégrable sur ]0,1] alors y-->ln(y)/(exp(xy)+1) est intégrable sur ]0,+00[ ssi y-->ln(y)/(exp(xy)+1) est intégrable sur [1,+00[. Noter qu'il y a équivalence entre intégrabilité et convergence de l'intégrale ( la fonction garde un signe constant)

ln(y)/(exp(xy)+1)~ln(y)exp(-xy) quand y-->+00 donc l'intégrale sur [1,+00[ converge ssi x>0
donc le domaine de f est ]0,+00[ ==> r et r'>0
soit x>0, on pose z=xy
f(x)
=int( 0,+00) ln(y)/(exp(xy)+1) dy
= 1/x. int( 0,+00) ( ln(z)-ln(x))/(exp(z)+1) dz
=( f(1)-a.ln(x))/x où a= int( 0,+00) 1/(exp(z)+1) dz

on pose t=exp(z) ==> dt=t dz
a=int( 1,+00) 1/t(t+1) dt = int( 1,+00) (1/t-1/(t+1)) dt=ln(2)

donc f(x)= f(1)/x -ln(2).ln(x)/x et f'(x)= -f(1)/x² -ln(2)( 1-ln(x))/x²

f(r)=0 <==> f(1)=ln(2).ln(r)
f'(r')=0 <==> f(1)=-ln(2).(1-ln(r')) donc ln(r)=ln(r')-1

int( r , r') f(x)dx
= f(1) (ln(r')-ln(r))-ln(2)( ln(r')²-ln(r)²)/2
= f(1) -ln(2). ( ln(r')+ln(r))/2
=ln(2)ln(r)-ln(2)(2ln(r)+1)/2
=-ln(2)/2

abdelbaki.attioui a écrit:: pour tout x de R, ln(y)/(exp(xy)+1)~ln(y)/2 quand y-->0+ comme y-->ln(y) est intégrable sur ]0,1] alors y-->ln(y)/(exp(xy)+1) est intégrable sur ]0,+00[ ssi y-->ln(y)/(exp(xy)+1) est intégrable sur [1,+00[. Noter qu'il y a équivalence entre intégrabilité et convergence de l'intégrale ( la fonction garde un signe constant)

ln(y)/(exp(xy)+1)~ln(y)exp(-xy) quand y-->+00 donc l'intégrale sur [1,+00[ converge ssi x>0
donc le domaine de f est ]0,+00[ ==> r et r'>0
soit x>0, on pose z=xy
f(x)
=int( 0,+00) ln(y)/(exp(xy)+1) dy
= 1/x. int( 0,+00) ( ln(z)-ln(x))/(exp(z)+1) dz
=( f(1)-a.ln(x))/x où a= int( 0,+00) 1/(exp(z)+1) dz

on pose t=exp(z) ==> dt=t dz
a=int( 1,+00) 1/t(t+1) dt = int( 1,+00) (1/t-1/(t+1)) dt=ln(2)

donc f(x)= f(1)/x -ln(2).ln(x)/x et f'(x)= -f(1)/x² -ln(2)( 1-ln(x))/x²

f(r)=0 <==> f(1)=ln(2).ln(r)
f'(r')=0 <==> f(1)=-ln(2).(1-ln(r')) donc ln(r)=ln(r')-1

int( r , r') f(x)dx
= f(1) (ln(r')-ln(r))-ln(2)( ln(r')²-ln(r)²)/2
= f(1) -ln(2). ( ln(r')+ln(r))/2
=ln(2)ln(r)-ln(2)(2ln(r)-1)/2
=ln(2)/2

Wow, merci pour votre methode mr attioui j'etais partie sur un methode de bourrin qui a aboutit a la fin mais apres plusieur page de calcul Merci.
Restons en analyse
Exo3:
trouver la limite de la suite direction mp mp* Codeco30

abdelbaki.attioui a écrit:: int( r , r') f(x)dx
= f(1) (ln(r')-ln(r))-ln(2)( ln(r')²-ln(r)²)/2
= f(1) -ln(2). ( ln(r')+ln(r))/2
=ln(2)ln(r)-ln(2)(2ln(r)-1)/2
=ln(2)/2

Très bien joué!
Il y a une petite faut d'inattention dans ce qui est en rouge.
Le bon résultat est l'opposé de ce que tu as trouvé.

Solution de l'exercice 3 :
Tout d'abord , on remarque que : $direction mp mp* Gif$ .
Maintenant, on démontre le lemme suivant :
Lemme :
Soit f une fonction de classe C^3 sur [0,1], on a :
$direction mp mp* Gif$
Preuve:
Soit 0<=k<=n-1, on applique le théorème de Taylor-Lagrange sur f entre t et k/n, on obtient :
$direction mp mp* Gif$ ,
d'où en posant M=sup([0,1]) |f"|, on obtient : $direction mp mp* Gif$ .
En sommant on obtient le résultat voulu .
Maintenant ,en revenant au problème , on obtient compte tenu de la convergence des sommes de Riemman :
$direction mp mp* Gif$

bien joue Mehdi.O a vous de proposer un exo Smile

Passons un peu aux polynômes:
Exercice 4:
Soit $direction mp mp* Gif$ , trouver une condition nécessaire et suffisante sur P pour que celui induise une surjection de Q sur Q.

il est evident que les degres 1 verifient et les constantes ne verifie pas soit n=deg(P) supposons que n>2 direction mp mp* Codeco32

,

,

,

,

en multipliant par une constante pres on peut supposer direction mp mp* Codeco36

,

,

,

,

CQFD

galillee56 a écrit:: il est evident que les degres 1 verifient et les constantes ne verifie pas soit n=deg(P) supposons que n>2 ,,, , en multipliant par une constante pres on peut supposer , , , ,
CQFD

Oui c'est ça, bien joué Very Happy

. Proposes un exo Very Happy

voici un exo assez facile classique mais que j'aime bien trouver A dans Mn(R) tel que pour tout B dans Mn(R) det(A+B)=det(A)+det(B)

galillee56 a écrit:: voici un exo assez facile classique mais que j'aime bien trouver A dans Mn(R) tel que pour tout B dans Mn(R) det(A+B)=det(A)+det(B)

Euh y a sûrement une erreur, pour A=0 scratch

euuh seul A=0 verifie

galillee56 a écrit:: euuh seul A=0 verifie

Tu as dit trouver A, bon je t'invite à reforumuler l'exercice et à le numéroter aussi.

Exo5:
Trouver toute les matrices A dans Mn(R) tq pour tout B dans Mn(R) det(A+B)=det(A)+det(B)

nmo a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:: int( r , r') f(x)dx
= f(1) (ln(r')-ln(r))-ln(2)( ln(r')²-ln(r)²)/2
= f(1) -ln(2). ( ln(r')+ln(r))/2
=ln(2)ln(r)-ln(2)(2ln(r)-1)/2
=ln(2)/2

Très bien joué!
Il y a une petite faut d'inattention dans ce qui est en rouge.
Le bon résultat est l'opposé de ce que tu as trouvé.

effectivement, c'est rectifié et merci nmo

Mehdi.O a écrit:

galillee56 a écrit:: euuh seul A=0 verifie

Tu as dit trouver A, bon je t'invite à reforumuler l'exercice et à le numéroter aussi.

Merci Mehdi.O Wink

Maître Nombre de messages : 158 Age : 30 Date d'inscription : 02/12/2010

Pour ton exo ghali :
Je propose cette solution
Soit A une matrice qui verifie les coditions donnees et soit r son rang donc il existe Q et P tq A =Q.Jr.P
Prenons pour B la mateice Q(In-Jr)P , on a alors det(P).det(Q)=det(A +B) =det(P).det(Q).det(Jr) +
Det(Q).det(P).det(In-Jr)
Ainsi det(Jr) + det (In-Jr) = 1
Donc soit r =0 soit 1
Pour r=1 on peut donner une contradiction en prenant B=A=In.
Donc A=0. Je mettrais mn exo apres.

bien joue

Maître Nombre de messages : 158 Age : 30 Date d'inscription : 02/12/2010

Voila un exercice d'analyse :
Soit une fonction f : R -> R telle que pour tout segment [a,b] de R , f([a,b]) est un segment et telle que f^(-1) ({x}) est ferme pour tt x appartenant a R . Montrer que f est continue. ( c'est classique )