direction mp mp*

galillee56 a écrit:

voici ce que je propose

Spoiler:

Excellent!
Je propose un autre exercice:
Exercice 10:
Soient des fonctions continues.
On suppose que pour tous les (a,b) réels.
Prouvez que: .
Bonne chance.

supponsons que tout les sont non identiquement nul soit x_i la premiere fois ou f_i sur [0,1] (si elle s annulle) soit x_m= min( x_i) a=0 b=x_m le produit different de 0 impossible donc il existe k tel que f_k=0

ps: elle pourrait coincider ac la fonction nul en [0,1] mais d'apres mon hypothese il existe bien un intervalle ou elle ne coincide pas ac la fonction nul donc je gagne et pour le x_i je ne le compte que je change de signe

galillee56 a écrit:

ps: elle pourrait coincider ac la fonction nul en [0,1] mais d'apres mon hypothese il existe bien un intervalle ou elle ne coincide pas ac la fonction nul donc je gagne et pour le x_i je ne le compte que je change de signe

Désolé, mais ton raisonnement est faux, déjà pour prouver que f_k=0, si le min des x_i est égal à 0 , càd s'il existe une f_i qui s'annule en 0, tu peux rien en déduire, et puis quand tu montres l'existence d'une fonction nulle dans [0,1], tu peux rien déduire pour IR ..

nmo a écrit:

Je propose un autre exercice:
Exercice 10:
Soient des fonctions continues.
On suppose que pour tous les (a,b) réels.
Prouvez que: .
Bonne chance.

Cet exercice est tiré d'un livre qui ne cesse de m'enerver...
Parfois, en l'occurrence en cet exercice, il demande de prouver quelque chose et lorsqu'on arrive plus et on décide de voir sa solution, surprise: il nous dit que "c'est faux" tout court et il donne un contre exemple.
Bon, pour cet exercice: le résultat est vrai pour n=1 et n=2; mais il est faux à partir de n=3.
Ainsi, la nouvelle question est de montrer le résultat pour n=2 et de trouver un contre exemple pour n=3.
P.S: Je m'excuse de l'avoir proposer...

looooll apres la remarque de Mehdi.O montrons que ma demonstration est fausse j'ai planche sur ca j'ai trouve quand mm bizzare cette propriete mais tres interressante maintenant que vous dites que ca ne marche j ai en effet un contre exemple sur feuille mais juste en dessein mais pas d'une fonction explicite mais se fut quand mm interressant merci

Solution de "l'exerice 10" :
Bon pour n=2, soit , on a pour tout x de IR :
, on dérive cette fonction et compte tenu de l'hypothèse , on obtient :

,
si f_2 est non nul , on a f_2(b) non nul, donc : , en utilisant la relation de Chasles pr deux points différents a_1 et a_2, on obtient l'intégrale de f_1 est nulle sur tout segment, donc f_1=0.
Pour le contre-exemple je suis encore en train de chercher :p.
J'avais prouvé le cas n=2 juste pour avoir une idée sur le cas général, smais après plusieurs tentatives j'ai pas réussi, et maintenant je suis choqué par le fait que cet exercice est faux

Bonjour.
Je vous propose cet exercice qui me semble très intéressant .
EXO 11 :
Déterminer les entiers n de N* tels que GLn(R) contienne un sous-groupe isomorphe à Z ⁄4Z × Z ⁄4Z .

Mehdi.O a écrit:

Solution de "l'exerice 10" :
Bon pour n=2, soit , on a pour tout x de IR :
, on dérive cette fonction et compte tenu de l'hypothèse , on obtient :

,
si f_2 est non nul , on a f_2(b) non nul, donc : , en utilisant la relation de Chasles pr deux points différents a_1 et a_2, on obtient l'intégrale de f_1 est nulle sur tout segment, donc f_1=0.
Pour le contre-exemple je suis encore en train de chercher :p.
J'avais prouvé le cas n=2 juste pour avoir une idée sur le cas général, smais après plusieurs tentatives j'ai pas réussi, et maintenant je suis choqué par le fait que cet exercice est faux

Je propose les fonctions suivantes comme contre exemple:
Soit t€IR+*
f_1(x)=0 sur ]-oo,t]U[2t,+oo[ et sin(2pi x/t) sur [t,2t]
f_2(x)=0 sur ]-00,2t] et x-2t sur [2t;+oo[
f_3(x)=0 sur [t;+00[ et x-t sur [-oo,t]

apparement personne n'a encore trouver l'exo 11 passant a l'exo 12 en attendant une reponse a 11
exo 12
soit f une permutation determiner la nature de la serie de terme general:
-f(n)/(n^2)
-f(n)/(n^2ln(n))

galillee56 a écrit:

apparement personne n'a encore trouver l'exo 11 passant a l'exo 12 en attendant une reponse a 11
exo 12
soit f une permutation determiner la nature de la serie de terme general:
-f(n)/(n^2)
-f(n)/(n^2ln(n))

---Pour la première série:
On pose: .
En appliquant l'inégalité de Caushy-Schwartz, on aura: .
Or, on a: .
On déduit donc que: .
En faisant tendre n vers , on trouve que tend elle aussi vers .
Et par conséquent, la série de terme général diverge.
---Pour la deuxième série:
Est ce que le dénominateur est ou ?

c (n^2)*(ln(n))

galillee56 a écrit:

c (n^2)*(ln(n))  

On pose: .
Il est facile d'établir que: , donc .
Par suite, ona:
Or, on a selon l'inégalité du réordonnement: .
Donc .
Ainsi, en faisant tendre n vers on trouve que va tendre vers .
Encore une fois, la série diverge.
Sauf erreurs.
P.S: J'attends une confirmation.

galillee56 a écrit:

apparement personne n'a encore trouver l'exo 11 passant a l'exo 12 en attendant une reponse a 11
exo 12
soit f une permutation determiner la nature de la serie de terme general:
-f(n)/(n^2)
-f(n)/(n^2ln(n))

Je n'ai pas bien saisi, f est une permutation de [1,n] ?, et dans ce cas elle va dépendre de n ?

kalm a écrit:

Bonjour.
Je vous propose cet exercice qui me semble très intéressant .
EXO 11 :
Déterminer les entiers n de N* tels que GLn(R) contienne un sous-groupe isomorphe à Z ⁄4Z × Z ⁄4Z .

Indication :considérez le sous-groupe {I_2,R,R^2,R^3} de GL2(IR) ou R la matrice de rotation d'angle pi/2.

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

c (n^2)*(ln(n))  

On pose: .
Il est facile d'établir que: , donc .
Par suite, ona:
Or, on a selon l'inégalité du réordonnement: .
Donc .
Ainsi, en faisant tendre n vers on trouve que va tendre vers .
Encore une fois, la série diverge.
Sauf erreurs.
P.S: J'attends une confirmation.

bien joue en fait on pouvait appliquer le reordenmment dans les 2 question

kalm a écrit:

kalm a écrit:

Bonjour.
Je vous propose cet exercice qui me semble très intéressant .
EXO 11 :
Déterminer les entiers n de N* tels que GLn(R) contienne un sous-groupe isomorphe à Z ⁄4Z × Z ⁄4Z .

Indication :considérez  le  sous-groupe {I_2,R,R^2,R^3} de GL2(IR)  ou R la matrice de rotation d'angle pi/2.

mr kalm j ai pense a ce sous groupe chose naturel puisque A^4=I donc en gros diagonalisable valeur propre (1,-1,i,-i) mais la chose qui me derange c que il etait isomorphe a Z/4Z*Z/4Z il doit etre de cardinal 16 si je ne me trompe et je n arrive pas a trouver un tel ss groupe

Mehdi.O a écrit:

galillee56 a écrit:

apparement personne n'a encore trouver l'exo 11 passant a l'exo 12 en attendant une reponse a 11
exo 12
soit f une permutation determiner la nature de la serie de terme general:
-f(n)/(n^2)
-f(n)/(n^2ln(n))

Je n'ai pas bien saisi, f est une permutation de [1,n] ?, et dans ce cas elle va dépendre de n ?

ouii elle depend de n c une fonction qui depend de n je comprend pas votre remarque a vrai dire

galillee56 a écrit:

Mehdi.O a écrit:

galillee56 a écrit:

apparement personne n'a encore trouver l'exo 11 passant a l'exo 12 en attendant une reponse a 11
exo 12
soit f une permutation determiner la nature de la serie de terme general:
-f(n)/(n^2)
-f(n)/(n^2ln(n))

Je n'ai pas bien saisi, f est une permutation de [1,n] ?, et dans ce cas elle va dépendre de n ?

ouii elle depend de n c une fonction qui depend de n je comprend pas votre remarque a vrai dire

Vous avez f est une permutation, ca veut une bijection de IN vers IN ?

Mehdi vous avez tout a fait raison c'est une permutation de N* desole et merci pour votre remarque ramadan a 45 degre ca n aide pas merci !! 

galillee56 a écrit:

Mehdi vous avez tout a fait raison c'est une permutation de N* desole et merci pour votre remarque ramadan a 45 degre ca n aide pas merci !! 

Haha, bon déjà le terme permutation c'est pour un ensemble fini, et dans ce cas la démonstration de nmo des deux séries est fausse, car puisque c'est une bijection, ce n'est plus une permutation , il a utilisé le fait que f est une permutation de [1,n] pour tout n  , ce n'est pas possible ...

je ne vois pas pk le reodennement ne marcherai plus cette serie est minimal pour l identite

galillee56 a écrit:

je ne vois pas pk le reodennement ne marcherai plus cette serie est minimal pour l identite

L'inégalité de réordonnement s'applique juste pour une permutation. Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_r%C3%A9arrangement

Mais en fait, pour rectifier les deux démonstrations, il faut plutôt que d'établir des égalités, renforcer les inégalités, par exemple soit n € IN*, si l'image de [1,n] par f est [1,n] on a fini, sinon quitte à composer par une autre permutation, chaque fois que f(i) >n, on peut se ramener au cas contraire, et dans ce cas on va se ramener à la somme indiquée en haut pour l'inégalité de réordonnement, mais par une minoration

c dommage qu'on puisse pas l'utiliser pour un ensemble infini surtout que dans ce cas la on le sens vraiment bien bref je m'excuse encore