direction mp mp*

Vz a écrit:

galillee56 a écrit:

exo45:
soit A dans Mn(R) tq A^2=0
montrer que Im(A+tA)=Im(A)+Im(tA)

 
 Il est clair que  ,soit  un vecteur propre de  associé à une valeur propre  et , cherchons alors un vecteur  de la forme  tel que , il suffit alors de trouver  tel que soit aussi  en remplaçant  par  on doit alors chercher  tel que 
 soit aussi
 
donc  convient, si  on peut toujours remarquer que .
on en déduit que pour tout  on a , de même on montre que pour tout  on a  . Or on peut trouver une base  de vecteurs propres de , comme tout vecteur de  s'écrit comme combinaison linéaire de vecteurs de la forme  ou de la forme  on peut en déduire l'autre inclusion 

ok bien joue Vz mais c'est vrai qu'il faut y penser ma methode consistait a reduire en Jordan.

 Exercice: 47 ( Ecole Normale supérieure )
 
Soit  continue et  une norme sur . Montrer que la fonction  qui à  associe:
 
  
est continue.

je propose ceci:

j 'attend une confirmation.

exo48:
soit n un entier non nul , f une fonction continue sur [0,1] a valeurs reel et b_0<b_1..<b_n montrer qu il existe une unique famille (a_i) tq  
int(0..1 , f(x)P(x)dx)=sum(k=0...n, P(b_k)a_k) pour tout P dans R_n[X]

Exo49

Montrer que la suite de nombres réels non nuls est une progression
géométrique si et seulement si elle satisfait la relation de rrécurrence

Pour exo48, on sait que :

ainsi :

de l'unicité des Polynômes d’interpolation de Lagrange, l'unicité de a_i s'en déduit.

galillee56 a écrit:

je propose ceci:

j 'attend une confirmation.

 
Bonjour galillee56,
 
Ta démonstration est très vague, la suite  que tu utilises n'a pas été correctement définie, s'il s'agit d'une suite quelconque qui tend vers  alors les inégalités que tu utilises ne sont pas nécessairement vraies, il y a aussi un mal entendu dans le  que tu as défini, c'est bien un vecteur de , et il serait insensé de dire que .

hilbert_1988 a écrit:

Exo49

Montrer que la suite de nombres réels non nuls est une progression
géométrique si et seulement si elle satisfait la relation de rrécurrence

Voici une solution:
==>] On suppose  que la suite des nombres réels non nuls , ,... sont en progression géométrique.
Il existe donc un réel   tel que: .
On a: .
<==] On suppose que .
Soit .
Démontrons par récurrence forte que: .
-Initialisation de la récurrence:
Pour , rien à démontrer.
Pour , l'hypothèse implique que: donc .
Et ainsi: .
-Hypothèse de récurrence:
On suppose que pour un certain entier n.
Et démontrons que: .
Notre hypothèse principale s'écrit .
Donc: .
Donc: , et ainsi: .
Ce qui achève la récurrence.
-Conclusion de la récurrence: .
c/c: la suite de nombres réels non nuls , ,... est une progression géométrique si et seulement si elle satisfait la relation de récurrence: .
Sauf erreurs.

Vz a écrit:

galillee56 a écrit:

je propose ceci:

j 'attend une confirmation.

 
Bonjour galillee56,
 
Ta démonstration est très vague, la suite  que tu utilises n'a pas été correctement définie, s'il s'agit d'une suite quelconque qui tend vers  alors les inégalités que tu utilises ne sont pas nécessairement vraies, il y a aussi un mal entendu dans le  que tu as défini, c'est bien un vecteur de , et il serait insensé de dire que .

desole c juste une erreur de frappe la norme de a_n tend vers desole je me suis completement trompe je vais essaye de trouver une nouvel approche merci

exo 50:
existence et calcul:

galillee56 a écrit:

exo 50:
existence et calcul:

On effectue le changement de variable x=tanh(t) alors on obtient

exo51:
soit n dans N trouver le pgcd de C(2n,2k+1) pour k parcourant [0,n-1]
C etant le binome de newton

Est ce que le pgcd est 2^k tel que k est défini tel que 2^k divise 2n et 2^(k+1) ne divise pas 2n ?

BJR
donner à k la valeur n-1.

ex 52
xoit n et k deux entiers strictement positifs et matrice carrée d'ordre n tq A^(k+1) = A^k
monter qu il existe p entier p> 0, A^p est diagonalisable
montrer que : A^(k+1) -A est nilpotente ( étudier le cas k=3)
Bon courage

galillee56 a écrit:

exo51:
soit n dans N trouver le pgcd de C(2n,2k+1) pour k parcourant [0,n-1]
C etant le binome de newton

Voici une solution:
Notons le PGCD qu'on cherche à calculer.
On a: .
Et: .
En combinant les deux relations, on trouve: , soit .
Il vient donc que divise , c'est à dire que est une puissance de 2.
On a .
On pose où est un entier impair.
Il s'ensuit donc que: divise et cela pour tous les entiers k inférieurs stictement à n.
Par conséquent divise .
D'autre part, on sait que divise donc divise .
Les deux dernières résultats conduisent à .
Sauf erreurs.

aissa a écrit:

ex 52
 xoit n et k deux entiers strictement positifs et matrice carrée d'ordre n tq A^(k+1) = A^k
  monter qu il existe p entier p> 0, A^p   est diagonalisable    
montrer que :  A^(k+1) -A est nilpotente  ( étudier le cas  k=3)
Bon courage

on a pour tout d >=k A^d=A^k donc pour d=2k A^2k-A^k=0 A^k(A^k - 1)=0 polynome minimal divise il est scinde a racine simple donc A^k est diagonalisable.
(A^(k+1)-A)^k=A^k(A^k-1)^k =sum(C(k,i)(-1)^iA^(k+i),i=0..k) = sum(C(k,i)(-1)^i A^(k),i=0..k)=0
sauf erreur bien sur

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

exo51:
soit n dans N trouver le pgcd de C(2n,2k+1) pour k parcourant [0,n-1]
C etant le binome de newton

Voici une solution:
Notons le PGCD qu'on cherche à calculer.
On a: .
Et: .
En combinant les deux relations, on trouve: , soit .
Il vient donc que divise , c'est à dire que est une puissance de 2.
On a .
On pose où est un entier impair.
Il s'ensuit donc que: divise et cela pour tous les entiers k inférieurs stictement à n.
Par conséquent divise .
D'autre part, on sait que divise donc divise .
Les deux dernières résultats conduisent à .
Sauf erreurs.

bien joue essaye de generaliser avec C(pn,kp+1) k parcourant 0,n-1

galillee56 a écrit:

bien joue essaye de generaliser avec C(pn,kp+1) k parcourant 0,n-1

Cette généralisation me parait difficile.
Si on doit passer par le calcul de , voici un début de peuve:
est un entier donné.
Soient les racines p-ième de l'unité.
On pose: et .
Soit un entier compris entre 0 et .
On a: , soit .
On cherche la valeur de .
Pour cela, on doit chercher les solution du système de Cramer à p inconnues et à p équations (en faisant varier m).
Première approche:
Soit la matrice .
L'équation précédente est équivalente à .
Soit le déterminant de Vandermonde défini par: .
Il est clair que: , et qui est non nul.
Il s'ensuit que le système précédant admet une solution...
Selon les formules de Cramer, .
Où: .
Deuxième approche:
On peut voir la matrice A ainsi: .
Et en fait référence au premier problème de ce topic pour calculer son déterminant d'une autre manière.
Et le problème s'écrit matriciellement ainsi: .
Cependant le même problème persiste, il est difficile de travailler avec les formules de Cramer. Plus précisément le calcul de où: .
Edit:
On peut aller d'un pas en remarquant que: .
Pour le moment, c'est à ce point que je me suis bloqué.
Je vais continuer après, si je trouve quelque chose d'intéressant.
Et si quelqu'un a une proposition pour terminer ce raisonnement, qu'il n'hésite pas à la proposer...

BSR galillee55
pour quoi ta sum est nulle
c'est d'après la première ligne; tu n'as pas besoin de la formule du binôme
bon courage

ben sum(C(k,i)(-1)^i A^(k),i=0..k)=A^k sum(C(k,i)(-1)^i ,i=0..k)=0 non ?

exo 52:
il ne reste plus que 3 semaine au max pour commencer les cours bon je propose cette exo
soit f et g C1 de [0,1] vers R et croissantes  prouver que int(f, 0..1)*int(g,0..1)<= int(fg,0..1)
( un petit exo 53:) soit A une matrice symetrique positive
prouver que det(A)<= produit(a_{i,i}, i=1...n)

Solution de l'exercice 52 :
D'après l'ingégalité de Tcheybchev puisque f et g sont croissantes on a : , par passage à la limite et compte tenu de la convergence des séries de Riemman on obtient le résultat.

plus que 10 jr et voici petit exo avant la rentree
exo54: (Mines-ponts)
prouver que Vect(On(R))=Mn(R)

galillee56 a écrit:

plus que 10 jr et voici petit exo avant la rentree
exo54: (Mines-ponts)
prouver que Vect(On(R))=Mn(R)

A partir d'une matrice de permutation quelconque on pourra aboutir à une matrice de permutation avec le coefficient de le i_ eme ligne, j _ème colonne  égal à 1 (Les matrices de permutations sont en bijection avec les permutations de l'ensemble {1,2,...n}). Notons A cette matrice et A' la matrice obtenue de A en remplaçant les 1 par des -1 sauf pour le coefficient(i;j).A' est donc une matrice orthogonale puisque ses colonnes et lignes sont normées
Alors E_(i;j)=(1/2)A+(1/2)A'
d'ou le résultat voulu