direction mp mp*

Exo40:

a) Soit p une nombre premier et a€IN*.Pour k€IN*, calculer le nombre d'éléments d'ordre p^a dans le groupe (Z/p^aZ)^k.
b) Soit n€IN; n>=2. calculer le nombre d'éléments d'ordre n dans (Z/nZ)^k.

expert_run a écrit:

Exo40:

a) Soit p une nombre premier et a€IN*.Pour k€IN*, calculer le nombre d'éléments d'ordre p^a dans le groupe (Z/p^aZ)^k.
b) Soit n€IN; n>=2.  calculer le nombre d'éléments d'ordre n dans (Z/nZ)^k.

bon je propose ceci:
a) les element dans (Z/p^aZ)^k sont de la forme (x_1,....,x_k) donc si il y a un x_i premier avec p^a il serait de d'ordre p^a sinon si tout les x_i divisent p^a il sont de la p^i il serait d'ordre p^{max(a-i)} donc
le nombre d'element d'ordre p^a=le nombre d'element-le nombre d'element ou tout les coef x_i divisent p
le nombre d'element=p^{ak}
le nombre d'element ou tout les coef x_i divisent p=p^{(a-1)k}
le nombre d'element d'ordre p^a est p^{(a-1)k}(p^k-1)
b) n=produit(pi^{a_i}) (Z/nZ)^k est isomorphe au produit (Z/pi^aiZ) si un element est d'ordre n il doit etre evidement d'ordre pi^ai pour tout i donc le nombre d'element d'ordre n est n produit((1-1/p^k), p premier divisant n)

galillee56 a écrit:

expert_run a écrit:

Exo40:
a) Soit p une nombre premier et a€IN*.Pour k€IN*, calculer le nombre d'éléments d'ordre p^a dans le groupe (Z/p^aZ)^k.
b) Soit n€IN; n>=2.  calculer le nombre d'éléments d'ordre n dans (Z/nZ)^k.

bon je propose ceci:
a) les element dans (Z/p^aZ)^k sont de la forme (x_1,....,x_k) donc si il y a un x_i premier avec p^a il serait de d'ordre p^a sinon si tout les x_i divisent p^a il sont de la p^i il serait d'ordre p^{max(a-i)} donc
le nombre d'element d'ordre p^a=le nombre d'element-le nombre d'element ou tout les coef x_i divisent p
le nombre d'element=p^{ak}
le nombre d'element ou tout les coef x_i divisent p=p^{(a-1)k}
le nombre d'element d'ordre p^a est  p^{(a-1)k}(p^k-1)

Je n'arrive pas à saisir pourquoi on doit soustraire le nombre dont tous les éléments divisent p et pourquoi pas les éléments dont l'un des coefficients divise p.
Et même si j'admet que c'est le cas, comment tu as fait pour calculer leur nombre?
Merci de détailler.

si il existe un coeffecient premier avec p notons le x_1 x=(x_1,...x_k) soit n l'ordre de x nx=(nx_1,....,nx_k) donc p^a divisive nx_1 p^a divise donc n (p^x_1=1) mais n est minimal donc l'ordre de x est p^a
donc si il existe un seul coeff premier avec p le probleme est regle l'ordre est forcement p^a donc le nombre d'element qui ont un ordre p^a comporte au moin un coeff premier avec p son oppose est tout les coeff sont divisible par p le nombre d'element divisible par p dans Z/p^aZ est p^{a-1} mais il y en a k et on permet les repetitions donc le nombre d'element divisible par p dans (Z/p^aZ)^k est p^({a-1}k) et le nombre d'element est evidement p^{ak} donc le nombre d'element qui ont pour ordre p^a est p^{ak}-p^({a-1}k)

Exo41:
soit u_n une suite reel verifiant pour tout n dans N U_{n+1}=U_{n}+exp(-U_{n}) determiner la limite de u_n et un equivalent simple.

galillee56 a écrit:

Exo41:
soit u_n une suite reel verifiant pour tout n dans N U_{n+1}=U_{n}+exp(-U_{n}) determiner la limite de u_n et un equivalent simple.

On a: .
Il s'ensuit donc que la suite est croissante.
On suppose par l'absurde que la suite est majorée, alors elle converge vers un certain réel noté .
On a: , ce qui donne en passant à la limite: .
Cette équation n'a pas de solution dans , d'où la contradiction désirée.
Ainsi, la suite est croissante et non majorée.
D'où: .
On définit une nouvelle suite .
Il est clair que: .
On a: .
Donc: .
On a donc: .
En utilisant le lemme de Césaro, on obtient: , ainsi: .
Et puisque: , il vient que: .

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

Exo41:
soit u_n une suite reel verifiant pour tout n dans N U_{n+1}=U_{n}+exp(-U_{n}) determiner la limite de u_n et un equivalent simple.

On a: .
Il s'ensuit donc que la suite est croissante.
On suppose par l'absurde que la suite est majorée, alors elle converge vers un certain réel noté .
On a: , ce qui donne en passant à la limite: .
Cette équation n'a pas de solution dans , d'où la contradiction désirée.
Ainsi, la suite est croissante et non majorée.
D'où: .
On définit une nouvelle suite .
Il est clair que: .
On a: .
Donc: .
On a donc: .
En utilisant le lemme de Césaro, on obtient: , ainsi: .
Et puisque: , il vient que: .

bien joue a vous de proposer un exo

galillee56 a écrit:

bien joue a vous de proposer un exo

Pas tout à fait, je n'ai pas pu compléter la solution...
La solution est maintenant moins détaillée. je proposerai la version complète cette nuit inchallah.
Je propose un nouvel exercice:
Exercice 42:
Soit , et soit un morphisme de groupe non trivial.
Montrer que est la signature.
Bonne chance.

Je complète ce que j'ai commencé:
Je me suis arrêté ic: .
Avant de commencer, j'annoce ce lemme (et qui est une application de la moyenne de Césaro généralisée ou du théorème de comparaison des séries équivalentes), que je vais aussitôt utiliser:
Si on dispose de deux suites réelles et de telle sorte que: et , alors .

En remplaçant dans une relation antérieure, on obtient donc que: ou encore: .
On déduit donc que: en utilisant le lemme ci-annoncé.
Et puisque et , il s'ensuit que: .
Ce qui s'écrit encore: ou bien: .
On a donc prouvé que: .
Et avec un développement limité car , on aura: .
Ce qui achève la démonstration...

nmo a écrit:

Exercice 42:
Soit , et soit un morphisme de groupe non trivial.
Montrer que est la signature.
Bonne chance.

f est un morphisme non trivial alors il existe "sigma" de S_n tq f(sigma)=-1
Or sigma se décompose en produit fini de transpositions T_i qui permutent i et i+1 alors il existe au moins un j de {1;...;n} tq f(T_j)=-1.
De plus on sait que (T_joT_(j+1))^3=1 alors f(j+1)=-1 et ainsi on montre que pour tout i de {1;...n} f(T_i)=-1=e(T_i)  avec e l'application signature.
Soit maintenant une permutation P quelconque de S_n ; il existe p €IN tq P=T_1oT_2....oT_p
f(P)=f(T_1)xf(T_2).....xf(T_p)=e(T_1)x....xe(T_p)=e(T_1x....xT_p)=e(P)
donc f est bel est bien l'application signature.

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

Exo41:
soit u_n une suite reel verifiant pour tout n dans N U_{n+1}=U_{n}+exp(-U_{n}) determiner la limite de u_n et un equivalent simple.

On a: .
Il s'ensuit donc que la suite est croissante.
On suppose par l'absurde que la suite est majorée, alors elle converge vers un certain réel noté .
On a: , ce qui donne en passant à la limite: .
Cette équation n'a pas de solution dans , d'où la contradiction désirée.
Ainsi, la suite est croissante et non majorée.
D'où: .
On définit une nouvelle suite .
Il est clair que: .
On a: .
Donc: .
On a donc: .
En utilisant le lemme de Césaro, on obtient: , ainsi: .
Et puisque: , il vient que: .

Dans cette ligne je pense qu'il y'a un petit exponentiel qui a disparu.

expert_run a écrit:

nmo a écrit:

On a: .
Donc: .

Dans cette ligne je pense qu'il y'a un petit exponentiel qui a disparu.

Non, c'est correct!
Ta solution pour l'exercice que j'ai proposé est correcte.
Tu peux proposer un nouveau exercice.

nmo a écrit:

expert_run a écrit:

nmo a écrit:

On a: .
Donc: .

Dans cette ligne je pense qu'il y'a un petit exponentiel qui a disparu.

Non, c'est correct!
Ta solution pour l'exercice que j'ai proposé est correcte.
Tu peux proposer un nouveau exercice.

Ah oui désolé je n'ai pas fait attention à un truc.

bon je vous souhaite aid moubarak a tous en vous souhaitant d'integrer X ou ens inchaallah ^^
bon voici un exo de aid
exo43:
determiner les matrice de O_n(R) a coefficient positif ou nul

galillee56 a écrit:

bon je vous souhaite aid moubarak a tous en vous souhaitant d'integrer X ou ens inchaallah ^^
bon voici un exo de aid
exo43:
determiner les matrice de O_n(R) a coefficient positif ou nul

C'est quoi cet ensemble? Je n'ai jamais entendu parler...

c'est l'ensemble des matrice orthogonal si M appartient a O_n(R) M*tM=I
tM=transpose de M

galillee56 a écrit:

bon je vous souhaite aid moubarak a tous en vous souhaitant d'integrer X ou ens inchaallah ^^
bon voici un exo de aid
exo43:
determiner les matrice de O_n(R) a coefficient positif ou nul

Je propose cette solution:
soit A=(a_ij)_1=<i;j=<n une matrice de O_n(R).

Mq pour il existe i€{1;...;n} tq

On choisit i comme étant un élément non fixe par
alors
avec b_ij les coeff de A.TA
On suppose que sur chaque ligne il existe au moins deux coefficients non nuls .
Alors par le choix adéquat de k on a  
Or i est arbitraire donc
(colonnes et lignes normalisées)
ceci est contradictoire puisqu'on a supposé que chaque colonne contient au moins 2 coeff non nuls . alors le seul cas qui reste est celui que chaque colonne(de même pour les lignes en raisonnant sur la transposée) contient un seul coefficient non nul qui est forcément égal à 1. et puisque A est orthogonale  alors elle n'est autre q'une matrice de permutation.
Réciproquement toute matrice de permutation appartient à O_n(IR) et ses coeff sont positifs ou nuls

Exo:44
" Soit A une partie de IN , et deux naturels p et q premiers entre eux. Montre que les 3 conditions :
(I) - 0 € A
(II) - ( n € A ) ==> ( n+p € A)
(III) - (n>=q & n € A ) ==> ( n-q € A )
impliquent que A=IN .

expert_run a écrit:

Exo:44
" Soit A une partie de IN , et deux naturels p et q premiers entre eux. Montre que les 3 conditions :
(I) - 0 € A
(II) - ( n € A ) ==> ( n+p € A)
(III) - (n>=q & n € A ) ==> ( n-q € A )
impliquent que A=IN .

il est evident que pZ est dans A
lemme il existe a,b dans N tq ap-bq=1 (je prouverai ce lemme a la fin)
il evident d'apres ce lemme que ap>bq nap>nbq pour tout n dans N nap-nbq=n donc A=N
preuve du lemme:
d'apres bezout il existe u et v dans Z teq ap-bq=up-vq=1 donc p(a-u)=q(b-v) a=qk+u et b=pk+v et on choisit le k adequat pour qu'ils soit tout 2 positif

exo45:
soit A dans Mn(R) tq A^2=0
montrer que Im(A+tA)=Im(A)+Im(tA)

Exo46 :

À l'intérieur d'un triangle rectangle de côtés 3, 4, 5, on dessine deux cercles égaux tangents entre eux et a l'un des côtés. Un des cercles est tangent a l'hypoténuse, l'autre est tangent a l'autre côte. Trouver les rayons des cercles dans les deux cas.

le triangle est rectangle d’hypoténuse 5. soit r le rayon commun
soit a l'angle du triangle : sin(a)=3/5
si les cercles sont  sur le cote 4
==> tan(a/2)=r/(4-3r) or sin(a)=2tan(a/2)/(1+tan²(a/2))
==> 3/5=(2r/(4-3r))/1+r²/(4-3r)²)
==> 3/5=2r(4-3r)/(r²+(4-3r)²)=r(4-3r)/(5r²-12r+8 )
==> 3(5r²-12r+8 )=20r-15r²
==> 15r²-28r+12=0=15(r-2/3)(r-6/5)
==> r=2/3 ou 6/5 sauf erreur

hilbert_1988 a écrit:

Exo46 :
À l'intérieur d'un triangle rectangle de côtés 3, 4, 5, on dessine deux cercles égaux tangents entre eux et a l'un des côtés. Un des cercles est tangent a l'hypoténuse, l'autre est tangent a l'autre côte. Trouver les rayons des cercles dans les deux cas.

Appelons ce triangle rectangle en .
On suppose ensuite que: et .
Les deux cas de l'énoncé sont: ou bien les deux cercles touchent le côté [] et l’hypoténuse, ou bien elles touchent le côté [] et l’hypoténuse.
Je traite un seul cas en détail, celui où les deux cercles touchent le coté [].
Soit le centre du cercle plus proche de C.
Il est clair que [ est une bissectrice de l'angle .
Soit le projeté orthogonale de sur [].
Il est clair que: .
On a .
Or, on a: , donc: .
Donc: , donc .
Il s'ensuit que: et que: .
L'autre cas se traite pareillement...
Sauf erreurs de calculs.

abdelbaki.attioui a écrit:

le triangle est rectangle d’hypoténuse 5. soit r le rayon commun
soit a l'angle du triangle : sin(a)=3/5
si les cercles sont  sur le cote 4
==> tan(a/2)=r/(4-3r) or sin(a)=2tan(a/2)/(1+tan²(a/2))
==> 3/5=(2r/(4-3r))/1+r²/(4-3r)²)
==> 3/5=2r(4-3r)/(r²+(4-3r)²)=r(4-3r)/(5r²-12r+8 )
==> 3(5r²-12r+8 )=20r-15r²
==> 15r²-28r+12=0=15(r-2/3)(r-6/5)
==> r=2/3 ou 6/5 sauf erreur

Il faut qu'on ait: AC>4r, donc 1>r pour que les deux cercles soient à l'intérieur du triangle.
Le seul cas qu'on doit prendre c'est r=2/3.

galillee56 a écrit:

exo45:
soit A dans Mn(R) tq A^2=0
montrer que Im(A+tA)=Im(A)+Im(tA)

 
 Il est clair que  ,soit  un vecteur propre de  associé à une valeur propre  et , cherchons alors un vecteur  de la forme  tel que , il suffit alors de trouver  tel que soit aussi  en remplaçant  par  on doit alors chercher  tel que 
 soit aussi
 
donc  convient, si  on peut toujours remarquer que .
on en déduit que pour tout  on a , de même on montre que pour tout  on a  . Or on peut trouver une base  de vecteurs propres de , comme tout vecteur de  s'écrit comme combinaison linéaire de vecteurs de la forme  ou de la forme  on peut en déduire l'autre inclusion