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Vz pourrez vous nous donner des indications parce que personnellement je bug
en attendant voici un nouvel exo
Exo34:

galillee56 a écrit:

Vz pourrez vous nous donner des indications parce que personnellement je bug
en attendant voici un nouvel exo
Exo34:

Salam,
Voici ma solution à cet exercice :
1) On Note B_n ce polynôme, il est clair que B_n(X+1)=B_n(X)+B_(n-1)(X) (1), on fixe y et on considère le polynôme B_n(X+y) et le polynôme : , ces deux ont le même degré qui est n et le  même coefficient dominant, donc pour qu'ils soient egaux, il suffit qu'ils aient même valeur pour X€{0,1,..,n-1}, ce qui peut être facilement vérifié par une récurrence finie sur X, tout en utilisant la formule (1).

2) On considère l'endomorphisme f sur IR_n[X] défini par: f(P)(X)=P(x+1), celui-ci est clairement un automorphisme ( sa réciproque est f^-1(P)(X)=P(X-1)) ,la matrice de f dans la base canonique de IR_n[X] est :, son inverse est : , et ainsi si on note A la matrice ligne formée par a_0,..,a_n et B la matrice ligne formée par b_0,..,b_n , on a : A=B.M=> B=A.M^-1, d'où le résultat.

bien joue mehdi.o
exo35:

galillee56 a écrit:

bien joue mehdi.o
exo35:

Je propose ma solution:
Il est très bien connu que les deux fonctions et sont multiplicatives.
Il suffit pour cela de comparer ces quantités lorsque où est premier et est un entier positif.
On dispose des formules: et .
On a , ce qui dit que: .
Et on a , donc .
On a donc pour , les inégalités: .
On retient les mêmes comparaisons pour n'importe quel entiers.
Sauf erreurs.

galillee56 a écrit:

nmo a écrit:

En attente d'une confirmation, je propose l'exercice suivant:
Exercice 30:
Montrer qu'il existe une base de constituée de matrices inversibles.
PS: L'exercice est tiré d'un Oral Banque Mine-Ponts (2013).

en attendant une réponse a l'exo 29 je propose ceci pour l'exo 30
montrons que la famille (I+E_{i,j}) est libre supposons qu'elle liee c a dire qu il existe a_i,j tel sum(a_{i,j}(I+E_{i,j} (i,j) different de (i0,j0))=a_{i0,j0}(I+E_{i0+j0}) i0 differente de j0 en ecrivant la matrice a_(i0,j0)=0 il ne reste plus que les terme pour les quels i=j sum(a_{i,i}(I+E_{i,i}))=a_{i0,i0}(I+E_{i0,i0}) on trouve que les a_(i,i}=-a_{i0,i0} i different de i0 et la somme des a_{i,i} i different de i0 = 2a_{i0,i0} a_i0=0 donc ils sont tous nul la famille est libre bon cardinal c'est une base et tous les elements sont inversible

L'idée est bonne. Mais ce n'est pas celle que j'attendais...
En attendant une confirmation de la solution précédente, je propose cet exercice:
Exercice 36:
Montrer que l'ensemble est dense dans .
Et retrouver ensuite le résultat de l'exercice 30.
Bonne chance.

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

bien joue mehdi.o
exo35:

Je propose ma solution:
Il est très bien connu que les deux fonctions et sont multiplicatives.
Il suffit pour cela de comparer ces quantités lorsque où est premier et est un entier positif.
On dispose des formules: et .
On a , ce qui dit que: .
Et on a , donc .
On a donc pour , les inégalités: .
On retient les mêmes comparaisons pour n'importe quel entiers.
Sauf erreurs.

Désolé mais prouver ça pour les puissances des premiers, ne nous permet pas de conclure pour tout entier pour l'inégalité où il y a la moyenne arithmétique. càd phi(n)+sigma(n)>=2n.

Sinon, voilà une preuve à cette inégalité dans le cas général :
On pose ,l'inégalité à démontrer est :
, qui est équivalente à :

or les alpha_i sont tous supérieurs à 1, donc :
.
D'où le résultat.

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

nmo a écrit:

En attente d'une confirmation, je propose l'exercice suivant:
Exercice 30:
Montrer qu'il existe une base de constituée de matrices inversibles.
PS: L'exercice est tiré d'un Oral Banque Mine-Ponts (2013).

en attendant une réponse a l'exo 29 je propose ceci pour l'exo 30
montrons que la famille (I+E_{i,j}) est libre supposons qu'elle liee c a dire qu il existe a_i,j tel sum(a_{i,j}(I+E_{i,j} (i,j) different de (i0,j0))=a_{i0,j0}(I+E_{i0+j0}) i0 differente de j0 en ecrivant la matrice a_(i0,j0)=0 il ne reste plus que les terme pour les quels i=j sum(a_{i,i}(I+E_{i,i}))=a_{i0,i0}(I+E_{i0,i0}) on trouve que les a_(i,i}=-a_{i0,i0} i different de i0 et la somme des a_{i,i} i different de i0 = 2a_{i0,i0} a_i0=0 donc ils sont tous nul la famille est libre bon cardinal c'est une base et tous les elements sont inversible

L'idée est bonne. Mais ce n'est pas celle que j'attendais...
En attendant une confirmation de la solution précédente, je propose cet exercice:
Exercice 36:
Montrer que l'ensemble est dense dans .
Et retrouver ensuite le résultat de l'exercice 30.
Bonne chance.

je crois savoir ou vous voulez en venir
M-aI est inversible si et seulement si a n est pas une valeur propre de M
M-(1/n)I est inversible pour tout n a partir d un certain rang et cette suite tend vers M
retour a l exo 30 on definit B_{i,j,n} une suite de matrice inversible qui tend vers E_{i,j}
les B_{i,j,n} sont libre grace a la liberte des E_{i,j} en passant a la limite d'ou le resultat

galillee56 a écrit:

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

nmo a écrit:

En attente d'une confirmation, je propose l'exercice suivant:
Exercice 30:
Montrer qu'il existe une base de constituée de matrices inversibles.
PS: L'exercice est tiré d'un Oral Banque Mine-Ponts (2013).

en attendant une réponse a l'exo 29 je propose ceci pour l'exo 30
montrons que la famille (I+E_{i,j}) est libre supposons qu'elle liee c a dire qu il existe a_i,j tel sum(a_{i,j}(I+E_{i,j} (i,j) different de (i0,j0))=a_{i0,j0}(I+E_{i0+j0}) i0 differente de j0 en ecrivant la matrice a_(i0,j0)=0 il ne reste plus que les terme pour les quels i=j sum(a_{i,i}(I+E_{i,i}))=a_{i0,i0}(I+E_{i0,i0}) on trouve que les a_(i,i}=-a_{i0,i0} i different de i0 et la somme des a_{i,i} i different de i0 = 2a_{i0,i0} a_i0=0 donc ils sont tous nul la famille est libre bon cardinal c'est une base et tous les elements sont inversible

L'idée est bonne. Mais ce n'est pas celle que j'attendais...
En attendant une confirmation de la solution précédente, je propose cet exercice:
Exercice 36:
Montrer que l'ensemble est dense dans .
Et retrouver ensuite le résultat de l'exercice 30.
Bonne chance.

je crois savoir ou vous voulez en venir
M-aI est inversible si et seulement si a n est pas une valeur propre de M
M-(1/n)I est inversible pour tout n a partir d un certain rang et cette suite tend vers M
retour a l exo 30 on definit B_{i,j,n} une suite de matrice inversible qui tend vers E_{i,j}
les B_{i,j,n} sont libre grace a la liberte des E_{i,j} en passant a la limite d'ou le resultat

n est suppose fixe ici , parce quand tu dis on passe à la limite .. ?

en fait le n c'est l entier qui verifie la liberte car on supposons que pour tout n B_{i,j,n} est liee en passant a la limite E_{i,j} aussi serait liee d'ou une contradiction

galillee56 a écrit:

en fait le n c'est l entier qui verifie la liberte car on supposons que pour tout n B_{i,j,n} est liee en passant a la limite E_{i,j} aussi serait liee d'ou une contradiction

Ah d'accord, à toi de proposer un exercice

bon voila un exo que je trouve vraiment marrant et tres interressant en meme temps c'est ULM
Exo 37:
soit N une matrice nilpotente de Mn(C) montrer que pour tout k dans N*, il existe N_{k} tq (I+N_{k}/k)^k=I+N et etudier la convergence de N_k et trouver la limite

Mehdi.O a écrit:

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

bien joue mehdi.o
exo35:

Je propose ma solution:
Il est très bien connu que les deux fonctions et sont multiplicatives.
Il suffit pour cela de comparer ces quantités lorsque où est premier et est un entier positif.
On dispose des formules: et .
On a , ce qui dit que: .
Et on a , donc .
On a donc pour , les inégalités: .
On retient les mêmes comparaisons pour n'importe quel entiers.
Sauf erreurs.

Désolé mais prouver ça pour les puissances des premiers, ne nous permet pas de conclure pour tout entier pour l'inégalité où il y a la moyenne arithmétique. càd phi(n)+sigma(n)>=2n.

Oui, tu as raison.
En fait, j'ai voulu corriger. Mais, tu m'as devancé.

Mehdi.O a écrit:

Sinon, voilà une preuve à cette inégalité dans le cas général :
On pose ,l'inégalité à démontrer est :
, qui est équivalente à :

or les alpha_i sont tous supérieurs à 1, donc :
.
D'où le résultat.

Je ne vois pas comment tu as aboutit à l'inégalité: .
Merci de détailler.

nmo a écrit:

Mehdi.O a écrit:

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

bien joue mehdi.o
exo35:

Je propose ma solution:
Il est très bien connu que les deux fonctions et sont multiplicatives.
Il suffit pour cela de comparer ces quantités lorsque où est premier et est un entier positif.
On dispose des formules: et .
On a , ce qui dit que: .
Et on a , donc .
On a donc pour , les inégalités: .
On retient les mêmes comparaisons pour n'importe quel entiers.
Sauf erreurs.

Désolé mais prouver ça pour les puissances des premiers, ne nous permet pas de conclure pour tout entier pour l'inégalité où il y a la moyenne arithmétique. càd phi(n)+sigma(n)>=2n.

Oui, tu as raison.
En fait, j'ai voulu corriger. Mais, tu m'as devancé.

Mehdi.O a écrit:

Sinon, voilà une preuve à cette inégalité dans le cas général :
On pose ,l'inégalité à démontrer est :
, qui est équivalente à :

or les alpha_i sont tous supérieurs à 1, donc :
.
D'où le résultat.

Je ne vois pas comment tu as aboutit à l'inégalité: .
Merci de détailler.

Bah tu développes, on aura les mêmes termes à un signe près, ceux qui sont négatifs et positifs vont s'annuler et il restera 2 + des parcelles positives ..

galillee56 a écrit:

bon voila un exo que je trouve vraiment marrant et tres interressant en meme temps c'est ULM
Exo 37:
soit N une matrice nilpotente de Mn(C) montrer que pour tout k dans N*, il existe N_{k} tq (I+N_{k}/k)^k=I+N et etudier la convergence de N_k et trouver la limite

 L'idée est classique pour résoudre cet exercice, il suffit de s'inspirer du développement en série entière de la fonction
 
Je donne une indication pour l'exercice 33:
Cherchez une fonction  telle que  soit proche de .

Vz a écrit:

galillee56 a écrit:

bon voila un exo que je trouve vraiment marrant et tres interressant en meme temps c'est ULM
Exo 37:
soit N une matrice nilpotente de Mn(C) montrer que pour tout k dans N*, il existe N_{k} tq (I+N_{k}/k)^k=I+N et etudier la convergence de N_k et trouver la limite

 L'idée est classique pour résoudre cet exercice, il suffit de s'inspirer du développement en série entière de la fonction
 
Je donne une indication pour l'exercice 33:
Cherchez une fonction  telle que  soit proche de .

on pourra aussi considérer le dual (L^00)'=L1

Vz a écrit:

galillee56 a écrit:

bon voila un exo que je trouve vraiment marrant et tres interressant en meme temps c'est ULM
Exo 37:
soit N une matrice nilpotente de Mn(C) montrer que pour tout k dans N*, il existe N_{k} tq (I+N_{k}/k)^k=I+N et etudier la convergence de N_k et trouver la limite

 L'idée est classique pour résoudre cet exercice, il suffit de s'inspirer du développement en série entière de la fonction
 
Je donne une indication pour l'exercice 33:
Cherchez une fonction  telle que  soit proche de .

on pourra aussi utilise le develleppoment en serie entiere de ln(1+x)

Exo 38:
Montrer que pour qu'un endomorphisme de Mn(C) conserve le rang il suffit qu'il conserve le caractère inversible (C-à-d si A est inversible alors f(A) l'est aussi).

expert_run a écrit:

Exo 38:
Montrer que pour qu'un endomorphisme de Mn(C) conserve le rang il suffit qu'il conserve le caractère inversible (C-à-d si A est inversible alors f(A) l'est aussi).

indice:

Spoiler:

Cet exercice est tiré d'un Ulm, mais avec des questions préliminaires, donc le donner directement c'est franchement très dur , en tout cas j'ajoute une autre indication à celle de Galille56, essayer de montrer que f(M) est inversible ssi M inversible  , et puis rg(f(M))>=rg(M)( pour démontrer cette inégalité, on montrera d'abord qu'il existe une matrice inversible G tq MG^-1 admette exactement rg(M) valeurs propres )

moi ce que je trouve plutot interessant dans cet exo c'est de prouver que :
soit A dans Mn(C) il existe P tq pour tout x dans dans C Ax+P est inversible

exo39:
trouver la nature de la serie de terme general:

galillee56 a écrit:

exo39:
trouver la nature de la serie de terme general:

Solution:
En posant (U_n)_n>=2 la suite en question et a=2pi*n.
on a U_n =<int (2pi*n à (2n+1)pi) dt/(1+(a^2)sint)^(3/2)
Or on a (1+(a^2 )sint )^(3/2)>=1+(a^3) (sint)^2  alors U_n<= int (2pi*n à (2n+1)pi) dt/(1+(a^3)sint)=2*int(0 à pi/2) dt/(1+(a^3)(sint)^2)
En effectuant le changement de variable x=tan t
on obtient:  int(0 à pi/2) dt/(1+(a^3)sint)=int(0à+oo)dx/(1+x^2(1+a^3))
On pose encore u=xsqrt(1+a^3) alors int(0 à pi/2) dt/(1+(a^3)sint)=int(0à +00) du /((sqrt(1+a^3)(1+u^2))= pi/(2sqrt(1+a^3) qui est équivalent à pi/2a^(3/2)
et puisque la série de terme général pi/2a^(3/2) converge alors la série en question converge.

Dsl j'avais pas le temps de rédiger la solution en latex.

expert_run a écrit:

galillee56 a écrit:

exo39:
trouver la nature de la serie de terme general:

Solution:
En posant (U_n)_n>=2 la suite en question et a=2pi*n.
on a U_n =<int (2pi*n à (2n+1)pi) dt/(1+(a^2)sint)^(3/2)
Or on a (1+(a^2 )sint )^(3/2)>=1+(a^3) (sint)^2  alors U_n<= int (2pi*n à (2n+1)pi) dt/(1+(a^3)sint)=2*int(0 à pi/2) dt/(1+(a^3)(sint)^2)
En effectuant le changement de variable x=tan t
on obtient:  int(0 à pi/2) dt/(1+(a^3)sint)=int(0à+oo)dx/(1+x^2(1+a^3))
On pose encore u=xsqrt(1+a^3) alors int(0 à pi/2) dt/(1+(a^3)sint)=int(0à +00) du /((sqrt(1+a^3)(1+u^2))= pi/(2sqrt(1+a^3) qui est équivalent à pi/2a^(3/2)
et puisque la série de terme général pi/2a^(3/2) converge alors la série en question converge.

Dsl j'avais pas le temps de rédiger la solution en latex.

bien joue moi je propose ceci c est un peu pareil c juste que j utilise une autre inegalite a la place du changement de variable