direction mp mp*

abdelbaki.attioui a écrit:

en fait c'est  (pk)!  non  pk! car c'est facile de voir som(k=0..inf,  z^(pk)/(pk!))=1/p exp(z^p)  

soit f(z)=som(k=0..inf,  z^(pk)/(pk)!  f est analytique ==> C infini

f^(p)(z)=som(k=1..inf,  z^(pk-p)/(pk-p)!=som(k=0..inf,  z^(pk)/(pk)!=f(z)

==> f solution de l'éq. diff. linéaire y^(p)-y=0 .
les racines de l'q. caractéristique sont les racines p ième de l'unité, {1,µ, µ²,...,µ^(p-1)}
où µ=exp(2i pi /p) ,
==> f(z)= som(k=0 ..p-1) a_k exp(µ^k z)
On calcule les a_k en calculant f^(k)(0) pour k=0,..,p-1
f(0)=1 ==> a_0+a_1+...+a_(p-1)=1
f'(0)=0 ==> a_0+µ a_1+...+µ^(p-1)a_(p-1)=0
f''(0)=0 ==> a_0+µ² a_1+...+µ^2(p-1)a_(p-1)=0
...
f^(p-1)(0)=0 ==> a_0+µ^(p-1) a_1+...+µ^(p-1)²a_(p-1)=0

Soit V= la matrice de taille pxp  (µ^(ij)) _0=<i,j=<p-1 et a =( a_0  a1  ... a_(p-1)) et b=(1  0 ... 0)
Le système devient  Va=b  Vandermonde ==> a=V^(-1)b
Le calcul de V^(-1) et bien connu

tres joli solution Mr.attioui
je propose celle ci:
soit w=exp(2ipi/p)

Exo 28:
soit A dans Mn(R) et V1...Vn n colonne
D=det(V1,V2...,Vn)
montrer que som(det(V1..,AVi,..Vn),i=1..n)=tr(A)D

galillee56 a écrit:

pour le 24:
je propose ceci
il evident qu une nilpotente verifie
soit A une matrice qui verife pour tout k tr(A^k)=0 notons a_i ses valeurs propre si ils sont tous egaux a_i=0 evident sinon soit a_1...a_j les valeur 2 a 2 distincte
on a pour tout k dans N som(q_ia_i^k,i=1..j)=0 q_i etant la multiplicite de a_i soit P un polynome qui s 'annulle sur a_1...a_{j-1} il est evident qu il s'annule sur a_j donc il existe p tel a_j=a_p donc il sont tous egaux et valent 0 est semblable a une triangulaire superieur strict et c'est gagne

pas pour moi !

manazerty a écrit:

galillee56 a écrit:

pour le 24:
je propose ceci
il evident qu une nilpotente verifie
soit A une matrice qui verife pour tout k tr(A^k)=0 notons a_i ses valeurs propre si ils sont tous egaux a_i=0 evident sinon soit a_1...a_j les valeur 2 a 2 distincte
on a pour tout k dans N som(q_ia_i^k,i=1..j)=0 q_i etant la multiplicite de a_i soit P un polynome qui s 'annulle sur a_1...a_{j-1} il est evident qu il s'annule sur a_j donc il existe p tel a_j=a_p donc il sont tous egaux et valent 0 est semblable a une triangulaire superieur strict et c'est gagne

pas pour moi !

ok je detail ^^
soit A une nilpotente son polynome caracteristique et P(X)=X^n
donc A est trigonalisable et semblable a une triangulaire superieur strict puisque elle pour unique valeur propre 0 pour A^k la diagonal comporte que des 0 et c est gagne

ok merci.

galillee56 a écrit:

Exo 28:
soit A dans Mn(R) et V1...Vn n colonne
D=det(V1,V2...,Vn)
montrer que som(det(V1..,AVi,..Vn),i=1..n)=tr(A)D

l'application f : (x1,x2...,xn) --> som(det(x1..,Axi,..xn),i=1..n) est une forme n-linéaire alternée de R^n ===> il existe a dans R : f=aD ==> a=trace(A)
( on applique l'unicité de D à une constante multiplicative prés)

abdelbaki.attioui a écrit:

galillee56 a écrit:

Exo 28:
soit A dans Mn(R) et V1...Vn n colonne
D=det(V1,V2...,Vn)
montrer que som(det(V1..,AVi,..Vn),i=1..n)=tr(A)D

l'application f : (x1,x2...,xn) --> som(det(x1..,Axi,..xn),i=1..n) est une forme n-linéaire alternée de R^n ===> il existe a dans R : f=aD ==> a=trace(A)
( on applique l'unicité de D à une constante multiplicative prés)

j ai pas bien saisi votre methode comment vous passer de la 1er a la 2em implication et de la 2em a la 3em

l'ensemble des applications n linéaires alternées est un espace vectoriel de dimension 1 (det) on est une base.
tu pend l'image de :(v_1,v_2,....v_n) = (e_1,e_2,...,e_n) la base canonique de M_n,1(IK)
bon courage

ah d'accord joli methode
la mienne consistait a ecrire chaque V_i en fonction des X_i avec les X_i qui sont des vecteur propre et on conclue mais j aime bien votre methode

Exo 29:
etudier d'apres les valeurs de a et b la convergence de la serie de terme general:

galillee56 a écrit:

Exo 29:
etudier d'apres les valeurs de a et b la convergence de la serie de terme general:

***Soit premièrement la fonction définie ainsi: .
Et notons aussi: ][.
---Si t tend vers ,
On a , car .
Ainsi l'intégrale converge dans ce cas.
---Si t tend vers ,
On a .
On a .
Au voisinage de 0, on a .
Donc l'intégrale converge au voisinage de 0...
Au voisinage de 1, on a .
Donc l'intégrale converge au voisinage de 0...
Ainsi ,l'intégrale converge aussi dans ce cas.
***Revenons à l'exercice proposé:
La limite de quand n tend vers est ou bien 0, ou bien .
Et dans tous les cas, la série converge.
Sauf erreurs.

En attente d'une confirmation, je propose l'exercice suivant:
Exercice 30:
Montrer qu'il existe une base de constituée de matrices inversibles.
PS: L'exercice est tiré d'un Oral Banque Mine-Ponts (2013).

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

Exo 29:
etudier d'apres les valeurs de a et b la convergence de la serie de terme general:

***Soit premièrement la fonction définie ainsi: .
Et notons aussi: ][.
---Si t tend vers ,
On a , car .
Ainsi l'intégrale converge dans ce cas.
---Si t tend vers ,
On a .
On a .
Au voisinage de 0, on a .
Donc l'intégrale converge au voisinage de 0...
Au voisinage de 1, on a .
Donc l'intégrale converge au voisinage de 0...
Ainsi ,l'intégrale converge aussi dans ce cas.
***Revenons à l'exercice proposé:
La limite de quand n tend vers est ou bien 0, ou bien  .
Et dans tous les cas, la série converge.
Sauf erreurs.

L'intégrale converge mais pourquoi la série?

expert_run a écrit:

L'intégrale converge mais pourquoi la série?

J'ai cru que le problème est d'étudier la convergence de la suite, c'est de ma faute.
Le problème demeure donc sans solution...

nmo a écrit:

expert_run a écrit:

L'intégrale converge mais pourquoi la série?

J'ai cru que le problème est d'étudier la convergence de la suite, c'est de ma faute.
Le problème demeure donc sans solution...

De la même façon que l'intégrale de Wallis on montre que f(t) est équivalente au vois de l'infini à sqrt(pi/(2t)) reste le cas quand t tend vers 0.

nmo a écrit:

En attente d'une confirmation, je propose l'exercice suivant:
Exercice 30:
Montrer qu'il existe une base de constituée de matrices inversibles.
PS: L'exercice est tiré d'un Oral Banque Mine-Ponts (2013).

en attendant une réponse a l'exo 29 je propose ceci pour l'exo 30
montrons que la famille (I+E_{i,j}) est libre supposons qu'elle liee c a dire qu il existe a_i,j tel sum(a_{i,j}(I+E_{i,j} (i,j) different de (i0,j0))=a_{i0,j0}(I+E_{i0+j0}) i0 differente de j0 en ecrivant la matrice a_(i0,j0)=0 il ne reste plus que les terme pour les quels i=j sum(a_{i,i}(I+E_{i,i}))=a_{i0,i0}(I+E_{i0,i0}) on trouve que les a_(i,i}=-a_{i0,i0} i different de i0 et la somme des a_{i,i} i different de i0 = 2a_{i0,i0} a_i0=0 donc ils sont tous nul la famille est libre bon cardinal c'est une base et tous les elements sont inversible

Vz a écrit:

Avec le théorème de convergence dominée on voit assez facilement que le terme général de la série tend vers  si , donc il y a divergence grossière dans ce cas, sinon le problème se ramène à l'étude des séries de Bertrand via les intégrales de Wallis 

exact

Exo31: soit:

galillee56 a écrit:

Exo31: soit:

Avec S est l'ensemble des entiers dont la décomposition en facteurs premiers ne contient que des p_i.
alors

expert_run a écrit:

galillee56 a écrit:

Exo31: soit:

Avec S est l'ensemble des entiers dont la décomposition en facteurs premiers ne contient que des p_i.
alors

bien joue expert-run
bon voici un exo que j'aime bien
Exo32:
On decoupe un rectangle en plusieurs rectangles de longueur ou de largeur rationelle montrer que le rectangle a soit une largeur ou une longueur rationelle

On suppose qu'un fourmi commence son chemin d'un sommet du rectangle  , on définit alors son parcours de la façon suivante, sa prochaine position  est le sommet d'un sous rectangle du rectangle initial telle que la longueur du côté  soit rationnelle, le point  existe à priori d'après les contraintes imposées par l'énoncé, de même on définit la position  de la même façon, sa dernière position  sera alors la position pour laquelle le point  mène à l’extérieur du rectangle, donc le point  appartient nécessairement à l'un des côtés du rectangle initial qui définit soit une largeur soit une longueur du rectangle initial, la longueur du chemin parcouru est rationnelle par construction, quitte à retirer les montées ou les translations selon la nature du côté précédant on garde une distance toujours rationnelle puisque par construction les montées et les translations sont également rationnelles ,on voit donc immédiatement que la largeur ou la longueur du rectangle est rationnelle 

Vz a écrit:

On suppose qu'un fourmi commence son chemin d'un sommet du rectangle  , on définit alors son parcours de la façon suivante, sa prochaine position  est le sommet d'un sous rectangle du rectangle initial telle que la longueur du côté  soit rationnelle, le point  existe à priori d'après les contraintes imposées par l'énoncé, de même on définit la position  de la même façon, sa dernière position  sera alors la position pour laquelle le point  mène à l’extérieur du rectangle, donc le point  appartient nécessairement à l'un des côtés du rectangle initial qui définit soit une largeur soit une longueur du rectangle initial, la longueur du chemin parcouru est rationnelle par construction, quitte à retirer les montées ou les translations selon la nature du côté précédant on garde une distance toujours rationnelle puisque par construction les montées et les translations sont également rationnelles ,on voit donc immédiatement que la largeur ou la longueur du rectangle est rationnelle 

Bonsoir, selon votre raisonnement la longueur "et" la largeur sont rationnelles non ?

Mehdi.O a écrit:

Vz a écrit:

On suppose qu'un fourmi commence son chemin d'un sommet du rectangle  , on définit alors son parcours de la façon suivante, sa prochaine position  est le sommet d'un sous rectangle du rectangle initial telle que la longueur du côté  soit rationnelle, le point  existe à priori d'après les contraintes imposées par l'énoncé, de même on définit la position  de la même façon, sa dernière position  sera alors la position pour laquelle le point  mène à l’extérieur du rectangle, donc le point  appartient nécessairement à l'un des côtés du rectangle initial qui définit soit une largeur soit une longueur du rectangle initial, la longueur du chemin parcouru est rationnelle par construction, quitte à retirer les montées ou les translations selon la nature du côté précédant on garde une distance toujours rationnelle puisque par construction les montées et les translations sont également rationnelles ,on voit donc immédiatement que la largeur ou la longueur du rectangle est rationnelle 

Bonsoir, selon votre raisonnement la longueur "et" la largeur sont rationnelles :Dnon ?

Si le fourmi arrive dans la largeur du rectangle alors sa longueur serait égale à la somme des montées qui est rationnelle par construction, sinon il arrivera dans la longueur du rectangle et sa largeur serait donc égale à la somme des translations...çe serait ton cas si le fourmi arrive au sommet du rectangle qui lie diagonalement le sommet initial, j'ai oublié d'imposer au parcours le fait que le fourmi ne peut se déplacer que dans un seul sens, c'est à dire soit il se déplace à gauche (translation) soit il monte (montée)...

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