direction mp mp*

merci pour les exo , je reviendrai

Saiichi a écrit:

Soit E = Rn[X] et soit f l'application denie sur E par f(P) = P(X+1)+P(X−1)−2P(X).
donner la matrice dans la base canonique de E.

Je pense que l'exercice est très accessible.
Il suffit de calculer pour .
En effet, on a: .
Donc: .
Je pense qu'on a fini, et la matrice est bien construite...

Je propose l'exercice suivant, même si je ne l'ai pas encore traité:
Exercice 23:
Montrer que si la série , où les sont des nombres réels positifs, converge, alors il en de même de la série: .
Bonne chance.

voici ce que je propose: posons:



ON A:

Donc:

Par une transformation d'abel

on a : (AM-GM)

la convergence de 1/T_k est evidente et celle de k/T_k on la par comparaison avec des serie de reimann.
si il y a un erreur prevenez moi merci!

nmo
j'ai pas compris 1 ere ligne

Saiichi a écrit:

nmo
j'ai pas compris 1 ere ligne

On cherche la matrice de f dans la base canonique de L'ensemble des polynôme de degré au plus n, et qui est la famille .
C'est à dire, on applique l'application linéaire f sur chaque élément de la base canonique, et on l'exprime dans cette base.
C'est ce que j'ai fait, et je pense que c'est clair!!!
Si j'ai commis de fautes, merci de les signaler...

Exo 24:
soit A dans Mn(C) montrer que A est nilpotente si et seulement si pour tout k dans N tr(A^k)=0

galillee56 a écrit:

Par une transformation d'abel

si il y a un erreur prevenez moi merci!

Tu as prouvé que: .
Par une transformation d'Abel, cela devient: .
Et non ce que tu as fait!

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

Par une transformation d'abel

si il y a un erreur prevenez moi merci!

Tu as prouvé que: .
Par une transformation d'Abel, cela devient: .
Et non ce que tu as fait!

je me suis trompe juste dans le moins ca ne change rien a mon raisonnement

galillee56 a écrit:

la convergence de 1/T_k est evidente et celle de k/T_k on la par comparaison avec des serie de reimann.
si il y a un erreur prevenez moi merci!

Je ne vois pas comment tu vas procéder?!

Saiichi a écrit:

montrer que si Un est converge vers l donc  |Un|  converge vers |l|

||Un|-|l||=<|Un-l|

kalm a écrit:

Je vous propose celui la.
EXO 19:
Soit (a_k)_k≥0 ∈ IR^IN. On note D_n le déterminant de la matrice (a_|i-j|)1≤i,j≤n. Montrer que D_(n-2)*D_n ≤ [D_(n-1)]^2.

Indication !

Soit M=(mij) une matrice ,M* la matrice obtenue en remplaçant dans t(com(M)) l'elemnt (i,j) pour 1 ≤ i ≤ n et 2 ≤ j ≤ n - 1 par 0 si i≠j et par 1 si i = j ,calculez MM* et en déduire det (M*) en fonction des cofacteurs ....

kalm a écrit:

Je vous propose celui la.
EXO 19:
Soit (a_k)_k≥0 ∈ IR^IN. On note D_n le déterminant de la matrice (a_|i-j|)1≤i,j≤n. Montrer que D_(n-2)*D_n ≤ [D_(n-1)]^2.

Voici une solution rapide en utilisant le théorème de Desnanot-Jacobi:
Soit la matrice dont on parle dans l'énoncé.
En utilisant la formule donnée par ce théorème, il vient immediatement que: où est la matrice déduite de en supprimant la ligne i et la colonne j.
On remarque aussi que: , donc .
On obtient donc: (un carré est toujours positif), et ainsi: .
CQFD.
Sauf erreurs.

nmo a écrit:

Je propose l'exercice suivant, même si je ne l'ai pas encore traité:
Exercice 23:
Montrer que si la série , où les sont des nombres réels positifs, converge, alors il en de même de la série: .
Bonne chance.

Je propose ce que j'ai trouvé:
On définit: et .
En utilisant l'inégalité de Caushy-Schwartz, on trouve:
, donc .
On a d'autre part, soit n un entier tel que: .
On a: .
Soit encore: .
On somme maintenant pour tous les entiers , on trouve:
Alors, il vient que si converge, il en est de même pour .
CQFD.
Sauf erreurs.

galillee56 a écrit:

Exo 24:
soit A dans Mn(C) montrer que A est nilpotente si et seulement si pour tout k dans N tr(A^k)=0

Je pense que ce problème ne se résout pas au moyens des leçons vues en première année.
J'attends une indication de ta part.

Saiichi a écrit:

montrer que si Un est converge vers l donc  |Un|  converge vers |l|

Même s'il faut qu'il ne soit proposé ici, il s'agira de l'exercice 25.
En attente, je vous propose l'exercice suivant:
Exercice 26:
Soit une fonction réelle de classe .
Montrer que: .
Bonne chance.

nmo a écrit:

kalm a écrit:

Je vous propose celui la.
EXO 19:
Soit (a_k)_k≥0 ∈ IR^IN. On note D_n le déterminant de la matrice (a_|i-j|)1≤i,j≤n. Montrer que D_(n-2)*D_n ≤ [D_(n-1)]^2.

Voici une solution rapide en utilisant le théorème de Desnanot-Jacobi:
Soit la matrice dont on parle dans l'énoncé.
En utilisant la formule donnée par ce théorème, il vient immediatement que: où est la matrice déduite de en supprimant la ligne i et la colonne j.
On remarque aussi que: , donc .
On obtient donc: (un carré est toujours positif), et ainsi: .
CQFD.
Sauf erreurs.

L'indication que j'ai donné sert a prouver ce théorème a détails près ,son utilisation directement tue l'exo.
D'autre part pour l'exercice (soit A dans Mn(C) montrer que A est nilpotente si et seulement si pour tout k dans N tr(A^k)=0 ),pour une méthode "supiste" ,vous pouvez utiliser une récurrence sur la dimension.

nmo a écrit:

nmo a écrit:

Je propose l'exercice suivant, même si je ne l'ai pas encore traité:
Exercice 23:
Montrer que si la série , où les sont des nombres réels positifs, converge, alors il en de même de la série: .
Bonne chance.

Je propose ce que j'ai trouvé:
On définit: et .
En utilisant l'inégalité de Caushy-Schwartz, on trouve:
, donc .
On a d'autre part, soit n un entier compris entre et .
On a: .
Soit encore: .
On somme maintenant pour tous les entiers , on trouve:
Alors, il vient que si converge, il en est de même pour .
CQFD.
Sauf erreurs.

Salam!
La première inégalité de la troisième ligne équivaut à p_1+p_2+...+p_n>= p_{2^k}+...+p_{2^(k+1)-1}. Pour tout 2^k=<n=<2^(k+1) ce qui n'est pas toujours vraie.
Par contre Galilee56 était sur le bon chemin. La dernière étape se fait en utilisant Cauchy Schwarz pour avoir k/T_k =< 1/k*S_k, et puis le théorème d'Abel.

MohE a écrit:

La première inégalité de la troisième ligne équivaut à p_1+p_2+...+p_n>= p_{2^k}+...+p_{2^(k+1)-1}. Pour tout 2^k=<n=<2^(k+1) ce qui n'est pas toujours vraie.

C'est une bonne remarque.
En effet, ce n'est qu'une simple faute de frappe que j'ai édité maintenat.

MohE a écrit:

Par contre Galilee56 était sur le bon chemin. La dernière étape se fait en utilisant Cauchy Schwarz pour avoir k/T_k =< 1/k*S_k, et puis le théorème d'Abel.

Peux-tu détailler?
Je ne sais pas comment vous pouvez procéder pour montrer que la série est convergente.

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

Exo 24:
soit A dans Mn(C) montrer que A est nilpotente si et seulement si pour tout k dans N tr(A^k)=0

Je pense que ce problème ne se résout pas au moyens des leçons vues en première année.
J'attends une indication de ta part.

Saiichi a écrit:

montrer que si Un est converge vers l donc  |Un|  converge vers |l|

Même s'il faut qu'il ne soit proposé ici, il s'agira de l'exercice 25.
En attente, je vous propose l'exercice suivant:
Exercice 26:
Soit une fonction réelle de classe .
Montrer que: .
Bonne chance.

pour l exo 24
Il suffit de raisonner sur les valeur propre de A est d utiliser un polynome interpolateur
pour l exo 26
si il existe a tq f ou l une de ses derive s'annulle c gagne sinon ils sont de signe constant
si f est postif et f' negatif f est decroissant donc f' tend vers 0 et + linf donc f' est croissant f'' est positif et tend vers 0 donc decroissant f''' est negatif
f postif et f' positif f est croissant supposons que f' soit decroissant en - linf suposons que f' tend vers + linf donc il existe x tel que f(x)<0 impossible si f' tend vers a >0 f(x) est equivalente a ax en - linf ce qui est aussi impossible f' est donc croissant f'' positif par le mm raisonement f''' est positif
si f est negatif - f est positif

pour le 24:
je propose ceci
il evident qu une nilpotente verifie
soit A une matrice qui verife pour tout k tr(A^k)=0 notons a_i ses valeurs propre si ils sont tous egaux a_i=0 evident sinon soit a_1...a_j les valeur 2 a 2 distincte
on a pour tout k dans N som(q_ia_i^k,i=1..j)=0 q_i etant la multiplicite de a_i soit P un polynome qui s 'annulle sur a_1...a_{j-1} il est evident qu il s'annule sur a_j donc il existe p tel a_j=a_p donc il sont tous egaux et valent 0 est semblable a une triangulaire superieur strict et c'est gagne

exo 27
calculer pour z dans C et p dans N p premier som(k=0..inf z^(pk)/(pk!))

en fait c'est  (pk)!  non  pk! car c'est facile de voir som(k=0..inf,  z^(pk)/(pk!))=1/p exp(z^p)  

soit f(z)=som(k=0..inf,  z^(pk)/(pk)!  f est analytique ==> C infini

f^(p)(z)=som(k=1..inf,  z^(pk-p)/(pk-p)!=som(k=0..inf,  z^(pk)/(pk)!=f(z)

==> f solution de l'éq. diff. linéaire y^(p)-y=0 .
les racines de l'q. caractéristique sont les racines p ième de l'unité, {1,µ, µ²,...,µ^(p-1)}
où µ=exp(2i pi /p) ,
==> f(z)= som(k=0 ..p-1) a_k exp(µ^k z)
On calcule les a_k en calculant f^(k)(0) pour k=0,..,p-1
f(0)=1 ==> a_0+a_1+...+a_(p-1)=1
f'(0)=0 ==> a_0+µ a_1+...+µ^(p-1)a_(p-1)=0
f''(0)=0 ==> a_0+µ² a_1+...+µ^2(p-1)a_(p-1)=0
...
f^(p-1)(0)=0 ==> a_0+µ^(p-1) a_1+...+µ^(p-1)²a_(p-1)=0

Soit V= la matrice de taille pxp  (µ^(ij)) _0=<i,j=<p-1 et a =( a_0  a1  ... a_(p-1)) et b=(1  0 ... 0)
Le système devient  Va=b  Vandermonde ==> a=V^(-1)b
Le calcul de V^(-1) et bien connu

nmo a écrit:

MohE a écrit:

La première inégalité de la troisième ligne équivaut à p_1+p_2+...+p_n>= p_{2^k}+...+p_{2^(k+1)-1}. Pour tout 2^k=<n=<2^(k+1) ce qui n'est pas toujours vraie.

C'est une bonne remarque.
En effet, ce n'est qu'une simple faute de frappe que j'ai édité maintenat.

MohE a écrit:

Par contre Galilee56 était sur le bon chemin. La dernière étape se fait en utilisant Cauchy Schwarz pour avoir k/T_k =< 1/k*S_k, et puis le théorème d'Abel.

Peux-tu détailler?
Je ne sais pas comment vous pouvez procéder pour montrer que la série est convergente.

En corrigeant le problème dans la troisième ligne, le problème reapparait dans la quatrième ligne.
Je me rends compte que l'inégalité ne peut être résolue en utilisant Cauchy-Schwarz "naivement". Voici comment finir le problème:
Il s'agit de prouver maintenant que sum k/T_k converge, où T_k= sum_{i=1}^k p_i. D'après Cauchy Schwarz on a: T_k.(sum_{i=1}^k i²/p_i)>=k²(k+1)²/4.
D'où sum_{k=1}^n k/T_k =< sum_{k=1}^n sum_{i=1}^k 4i²/(k(k+1)²p_i)
                                  =< sum_{k=1}^n sum_{i=1}^k 4i/(k(k+1)p_i)
                                  =< sum_{i=1}^n sum_{k=i}^n 4i/(k(k+1)p_i)
                                  = 4sum_{i=1}^n 1/p_i - 1/n sum_{i=1}^n i/(np_i)
D'où sum_{k=1}^n k/T_k =< 4sum_{k=1}^n 1/p_k. D'où le résultat.