direction mp mp*

tahasinbad a écrit:

Voila un exercice d'analyse :
Soit une fonction f : R -> R telle que  pour tout segment [a,b] de R , f([a,b]) est un segment et telle que f^(-1) ({x}) est ferme pour tt x appartenant a R . Montrer que f est continue. ( c'est classique )

Ca veut dire quoi fermée ?

tahasinbad a écrit:

Voila un exercice d'analyse :
Soit une fonction f : R -> R telle que  pour tout segment [a,b] de R , f([a,b]) est un segment et telle que f^(-1) ({x}) est ferme pour tt x appartenant a R . Montrer que f est continue. ( c'est classique )

  

.

exo 6' :
Montrer que l'equation P(x)= exp(x) admet un nombre fini de solutions.

tahasinbad a écrit:

exo 6' :
Montrer que l'equation P(x)= exp(x) admet un nombre fini de solutions.

Soit un polynôme.
La fonction polynômiale ne peut pas admettre une infinité de racine.
En effet, si c'est le cas elle sera nulle et donc , et cela étant absurde.
Ainsi, l'equation est soit sans solution, soit admet un nombre fini de solutions.
CQFD.
Sauf erreurs.

nmo a écrit:

tahasinbad a écrit:

exo 6' :
Montrer que l'equation P(x)= exp(x) admet un nombre fini de solutions.

Soit un polynôme.
La fonction polynômiale ne peut pas admettre une infinité de racine.
En effet, si c'est le cas elle sera nulle et donc , et cela étant absurde.
Ainsi, l'equation est soit sans solution, soit admet un nombre fini de solutions.
CQFD.
Sauf erreurs.

Je ne crois pas qu'une série soit considérée comme une fonction polynomiale, cette somme est infinie , or un polynome est une suite de coefficients dont le support est fini .

Solution de l'exercice 6:
Il suffit de remarquer que si une fonction f s'annule une infinité de fois, sa dérivée l'est aussi ( on applique le théorème de rolle ), donc en itérant n fois on obtient la fonction x-> a_n.n!-exp(x) où a_n le coefficient dominant de P, s'annule une infinité de fois, ce qui est absurde

Mehdi.O a écrit:

Solution de l'exercice 6:
Il suffit de remarquer que si une fonction f s'annule une infinité de fois, sa dérivée l'est aussi ( on applique le théorème de rolle ), donc en itérant n fois on obtient la fonction x-> a_n.n!-exp(x) où a_n le coefficient dominant de P, s'annule une infinité de fois, ce qui est absurde

bien joue mehdi.O a vous de proposer un exo

Ouii, bien joué! Propose un autre exercice.

Je vous laisse la main, je n'ai pas d'exerice intéressant pour l'instant.

exo7
soit p,q,r 3 projecteur
trouver une condition necessaire et suffisante pour que
p+racine(2)q+racine(3)r soit un projecteur

Je propose un exercice d'algèbre:
Exercice 8:
Soient et deux matrices de vérifiant: .
Montrez que les deux matrices en questions ont le même rang.
Bonne chance.
P.S: je le poste même si galilee56 m'a devancé.

nmo a écrit:

Je propose un exercice d'algèbre:
Exercice 8:
Soient et deux matrices de vérifiant: .
Montrez que les deux matrices en questions ont le même rang.
Bonne chance.
P.S: je le poste même si galilee56 m'a devancé.

(A-I)(B-I)=I donc A-I est inversible ker(B) est inclus dans ker(A) soit X dans ker(X) BX est dans ker(A-I) BX=0 X est dans ker(B) ker(B)=ker(A) donc mm rang

.

Galilee, en fait on peut dire que c'est symetrique ainsi pr dble inclusion le resultat decoule, car puisque A-I est inversible on deduit la meme egalite donnee avec A et B inversee.

tahasinbad a écrit:

Galilee, en fait on peut dire que c'est symetrique ainsi pr dble inclusion le resultat decoule, car puisque A-I est inversible on deduit la meme egalite donnee avec A et B inversee.

En fait la première inclusion est triviale .

Ouii c'est vrai. Et legalite de (A-I)(B-I)=I nous donne ( si on inverse les deux matrices multipliees ) legalite A+B=B.A ainsi on deduit lautre inclusion par symetrie de A et B.

Concernant ton exo Galilee, si je dis pas de betises , n'a t-il pas une relation avec les orbites ( un resultat de gauss ) que j'avais lu ca fait longtemps sur l'unicitie des facteurs ( a,b,c,d ) pour des nombres qui s'ecrivent de la maniere x = a + racin(2) .b + racin(3).c + racin(6) .d
Je pense qu'on aura besoin de ce resultat.

tahasinbad a écrit:

Ouii c'est vrai. Et legalite de (A-I)(B-I)=I nous donne ( si on inverse les deux matrices multipliees ) legalite A+B=B.A ainsi on deduit lautre inclusion par symetrie de A et B.

Concernant ton exo Galilee, si je dis pas de betises , n'a t-il pas une relation avec les orbites ( un resultat de gauss ) que j'avais lu ca fait longtemps sur l'unicitie des facteurs ( a,b,c,d ) pour des nombres qui s'ecrivent de la maniere x = a + racin(2) .b + racin(3).c + racin(6) .d
Je pense qu'on aura besoin de ce resultat.

Je crois que ce résultat, concerne uniquement les entiers de Gauss , ca n'a rien à avoir avec ça je pense ...

Oui peut etre, je dois rechercher, je suis pas sur.

tahasinbad a écrit:

Ouii c'est vrai. Et legalite de (A-I)(B-I)=I nous donne ( si on inverse les deux matrices multipliees ) legalite A+B=B.A ainsi on deduit lautre inclusion par symetrie de A et B.

Concernant ton exo Galilee, si je dis pas de betises , n'a t-il pas une relation avec les orbites ( un resultat de gauss ) que j'avais lu ca fait longtemps sur l'unicitie des facteurs ( a,b,c,d ) pour des nombres qui s'ecrivent de la maniere x = a + racin(2) .b + racin(3).c + racin(6) .d
Je pense qu'on aura besoin de ce resultat.

tu travail dans l'anneau Q[racine(2),racine(3),racine(6)] mon exercice est bcp plus simple que ca.

je donne une indication prouver que si p un projecteur Tr(p)= rg(p)

galillee56 a écrit:

exo7
soit p,q,r 3 projecteur
trouver une condition necessaire et suffisante pour que
p+racine(2)q+racine(3)r soit un projecteur

galillee56 a écrit:

je donne une indication prouver que si p un projecteur Tr(p)= rg(p)

Je propose une preuve de l'indication, puis j'attaque l'exercice:
Soit avant tout un espace vectoriel de dimension n.
Soit un projecteur.
Il est connu que: .
Soit une base de .
Soit une base de .
La matrice associée canoniquement à p est donc de la forme: .
Le nombre de 1 qui y figure est à la fois et .
D'où le résultat.
---Pour l'exercice courant:
Si on suppose que est un projecteur.
Alors .
Or, .
Ce qui donne .
Donc q et r sont deux projecteurs nuls.
Réciproquement si cela est vérifié, alors est un projecteur.
Sauf erreurs.

bien joue nmo a vous de proposer un exo

Voici un exercice classique, que je n'ai pas encore traité:
Exercice 9:
Etudiez la nature de la série de terme général: .
Bonne chance.

voici ce que je propose

Spoiler: