Probleme novembre 2013

Montrer que pour tout (n,k) de N*²; il existe m1,...,mk entiers >0 tels que:

Indication

si k=1 , alors m1=n

si k=2, alors
si n impair, m1=n et m2=(n+1)/2
si n pair, m1=n/2 et m2=n+2

si k=3,
si 4 divise n , m1=n/4 et m2=(n+4)/2 et m3=n+6
si 4 divise n-1 , m1=n et m2=(n+1)/2 et m3=(n+3)/4
si 4 divise n-2, m1=n/2 et m2=(n+2)/4 et m3=n+6
si 4 divise n-3 , m1=n et m2=(n+1)/4 et m3=(n+5)/2

Si k>3,
il faut étudier les restes de n modulo 2^(k-1) , prendre la suite mk telle que
m_i+1=2 m_(i+1) ou 2(m_i+1)= m_(i+1) selon i entre 1 et k-1.
Le produit devient simplifiable.