monde des inégalités

lançant un sujet consacré aux olympiades.
Comme d’habitude numéroter  les exercices.
EX1:


c'est facile mais c'est pour commencer

EX2:


autre exo habitué

Pour le 2!!!

-Démontrer que le polynôme x^3 -3x + 2 est toujours positif dans R+ (la racine évidente est 1).

-En déduire que pour tout a, b et c dans R+, 3racinecubVabc <= abc + 2
-En conclure que la moyenne géométrique de a, b et c est inférieure ou égale à (abc+2)/3, et donc la moyenne harmonique est également inférieure à (abc+2)/3

-Inverser les deux côtés, puis multiplier par 3, pour trouver l'inégalité voulue...

Je poste?

Solution EX2:
Par I.A.G:

il suffit de démontrer que

Par I.A.G:


d'où le résultat.

à vous de poster maintenant .
B.N: numéroter et utiliser latex

Ah non, je passe!!

J'veux de quoi m'entraîner pendant ces vacances^^!!

A'vous l'honneur!!

(Un indice pour le 1?)

Puisque personne n'a proposé d'exercice, et pour faire un peu vite je propose cette equation fonctionelle (un peu facile pour commencer).
EXO 3:
Determinez toutes les applications de R vers R verifiant:
f(x²+y)=f(x)+f(y²) pour tout (x,y) de R²

-désolé si je n'ai pas mis une inegalité, j'ai pas lu le titre du sujet, mais bon cet exercice est un peu facile.    

Réponse de l'EXO 3:

en substituant y = 0, on trouve f(x) = f(x²) = f(x^4) = .... = f(x^2n) pour tout n dans N

en substituant x² = -y on trouve -f(x) = f(x^4)

D'où f(x) = -f(x) pour tout x dans R.

la solution est la fonction nulle.


Pareil, je ne poste pas d'exo.

C'est juste. A toi de Poster cette fois ^^

EXO 1
indice IAG

C'est bizarre, je ne l'ai toujours pas...Soit je me suis égaré, soit c'est plus difficile que prévu (z'eu vote pour la première option )

Bon, en attendant la solution pour le 1er, voilà une bonne inégalité, de quoi nous entraîner pour les factorisations.

a, b et c sont les côtés d'un triangle, prouver que:

j' ai déjà prévenu de numéroter les exercices
EXO 4
a,b,c sont des longueurs d'un triangle, prouver que

My ugly method for the forth Exercice:
j'ai besoin de confirmation pour poster un exercice

Sauf Erreur

Bon En attendant votre confirmation je Poste:
EXO 5:
soit a,b et c des réels positifs tel que a+b+c+d=1, Montrer que:

WLOG : ordonner les variables, tchebychev, utiliser 4(a²+b²+c²+d²) ≥(a+b+c+d)² et 2(a+b+c+d)(∑(1/a+b))≥ 16 . A vous de proposer un exo

A toi de proposer, c'est bien toi qui a trouvé la réponse ^^

#Legend-Cruch: Ta méthode paraît correcte, je ne suis pas au courant des nouvelles propriétés de la trigo de cette année...En attendant qu'un autre puisse corriger, voici ma proposition, et j'espère qu'elle vous sera utile à tous!!

Nouvelle factorisation, aussi (enfin, presque) importante que les identités remarquables:

(a²+b²+c²)² - (a^4 + b^4 + c^4) = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

on a a, b, et c les longueurs d'un triangle, donc les 4 termes du produits sont positifs, d'où l'inégalité!!

P.S: On attend l'EXO 6^^

Ta méthode est très bonne et courte. Mais elle n'est pas évidente à trouver ^^

Merci!!

Mais maintenant, on peut la trouver facilement!!

Seledeur, tu veux bien proposer une inégalité? Sinon qui peut en mettre une ?

D'accord : x,y,z > -1
prouvez que  
                                   

legend-crush a écrit:

My ugly method for the forth Exercice:
j'ai besoin de confirmation pour poster un exercice

Sauf Erreur

Remarques :
acos(A)+bcos(B)+ccos(C)=2asin(B)sin(C)=2S/R donc on peut achever la solution dès la quatrième ligne et pour l'avant avant dernière ligne, le LHS est égal à 2 pour tous A B C angles d'un triangle.

seledeur a écrit:

D'accord : x,y,z > -1
prouvez que  
                                   

remarquez bien que 1+x²/1+y+z²>= 1+x²/(1+((y²+1)/2)+z²) et puis on substitue par a=x²+1 ... et on obtiendra une inégalité plus facile

Oui, Bravo, Proposes une autre .