monde des inégalités

a,b,c>0 Prouver que : a²+b²+c²+2abc+1>2(ab+ac+bc)

M. DAMP a écrit


a,b,c>0 Montrez que 


j'ai utilisé quelques indices que j'avais vus il y a longtemps.

il suffit alors de montrer que  
on a
il suffit alors de montrer que ce qui est vrai http://www.wolframalpha.com/input/?i=3%28x%29%5E%282%2F3%29+-+2x+-1+

BRAVO M.seledeur
P.S : la dernier inégalité est vrai par am gm x^3+x^3+1>3x² avec x^3=abc
a toi de poster une autre ineq.

a,b,c> 0 tq ab+ac+bc=1 , MQ  

M. Seledeur a écrit:
a,b,c> 0 tq ab+ac+bc=1 , MQ  




Avant d'aller m'endormir, je propose une solution que j'ai trouvée dans un livre:


Bonne nuit.

Cette méthode est vraiment épatante       Je me permet, pour faire vite, de poster un petit exo proposé dans l'entrainement de l'année dernière

Soient a,b,c trois réels strictement positifs tels que , Montrer Que:

WLOG :
par Chyebechev :
il suffit alors de montrer que ce qui est vrai .

Bravo M. Seledeur et un grand Merci à M. Legend_Crush qui a proposé cet exercice.
J'ai une toute petite remarque à propos de l'ordre des variables: on a appris que les inégalités cycliques permettent seulement de définir un plus petit élément ou un plus grand élément.

a,b,c strictement positifs : MQ

seledeur a écrit:

a,b,c strictement positifs : MQ

je pense que vous avez une autre méthode plus simple Mr seledeur .

a,b,c>0 avec a+b+c=1/a+1/b+1/c Montrer que : ab+bc+ac+abc≥4

Posons p = a+b+c et q = abc , alors en utilisant la condition on a pq=ab+bc+ac , il est clair que p≥3, et l'inégalité a montrer est equivalente a q(p+1) ≥ 4 , on a et en utilisant la condition : a²+b²+c² = p²-2pq, donc schur est equivalente a p³ + 9q ≥ 4qp² donc q(p+1)≥p³(p+1)/(4p²-9) , il suffit alors de montrer que p³(p+1)/(4p²-9) ≥ 4 pour p ≥3  ce qui est vrai http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28p%5E3%28p%2B1%29%29%2F%284p%5E2-9%29+from+3+to+4

pour , voir http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2796376&sid=9a77b65305d642c0f3fb32f5e200a7b0#p2796376

a,b,c strictement positifs tq a+b+c =1 , MQ

On a par C-S : donc il suffit de montrer que   (1) et on a par la condition donc (1) <=> d’où le résultat .

DAMP a écrit:

On a par C-S : donc il suffit de montrer que   (1) et on a par la condition donc (1) <=> d’où le résultat .

c'est faux Mr'' DAMP'' . regarder la derniere ligne ab+bc+ca =< 1/3

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a,b,c>0 tel que a+b+c=3, montrez que

pour utiliser chebyshev les 2 sequences doit etre ordonnees de la meme facon ou de facon inverse. on supposant
a>=b>=c on ne pourra pas utiliser chebyshev avec (a;b;c) et (b;c;a) sauf erreur

Oui tu as raison faute d'innatention

a,b,c,x strictement positifs , MQ

On montre d'abord que

Après avoir developer, l'inégalité est equivalente à:

En utilisant la propriété précédente on trouve :