Problème septembre 2014

Soient z0, z1, . . . , zn n+1 nombres complexes tels que pour tout polynôme P de C[X] de degré inférieur ou égal à n−1 la propriété suivante soit vérifiée :


Montrer que z1, z2, . . . , zn sont les sommets d'un polygone régulier de centre z0.

on pose ai=zi-z0 pour tout i entre 1 et n on peut raisonner sur P(X)=Q(x-z0) donc pour tout Q polynome de degre inferieur a n-1 on a Q(0)=1/n. sum_{k=1}^{n}Q(ak) on considere H(X)=produit(X-ai,i=1..n)=sum(bi*X^i,i=0...n) on note sp= sum_{k=1}^{n}ak^p pour tout p entre 0 et n-1 on sait que (somme de newton) bp=P(s1,s2,....,sp) on a que si=0 pour tout i entre 1,n-1 bp=0 pour tout p entre 1 et n-1 donc H(X)=X^n-bn donc les ai sont les racine n-ieme de bn d'ou le resultat

galillee56 a écrit:

on pose ai=zi-z0 pour tout i entre 1 et n on peut raisonner sur P(X)=Q(x-z0) donc pour tout Q polynome de degre inferieur a n-1 on a Q(0)=1/n. sum_{k=1}^{n}Q(ak) on considere H(X)=produit(X-ai,i=1..n)=sum(bi*X^i,i=0...n) on note sp= sum_{k=1}^{n}ak^p pour tout p entre 0 et n-1 on sait que (somme de newton) bp=P(s1,s2,....,sp) on a que si=0 pour tout i entre 1,n-1 bp=0 pour tout p entre 1 et n-1 donc H(X)=X^n-bn donc les ai sont les racine n-ieme de bn d'ou le resultat

Je ne vois pas comment tu as eu ce qui est en rouge.
Merci de détailler un peu.

ben on a que Q(0)=1/n. sum_{k=1}^{n}Q(ak) pour tout Q polynome de degre inferieur a n-1 donc si je prends Q(X)=X^p je trouve les sp

galillee56 a écrit:

ben on a que  Q(0)=1/n. sum_{k=1}^{n}Q(ak) pour tout Q polynome de degre inferieur a n-1 donc si je prends Q(X)=X^p je trouve les sp

Oui, très bien vu.
Merci pour la réponse.

c'est faux car premierement H est de degre n et je ne vois pas pourquoi H(0)=0 ?

galillee56 a écrit:

c'est faux car premierement H est de degre n et je ne vois pas pourquoi H(0)=0 ?

Oui, je me suis précipité dans mes calculs (l'indice de la somme commence de 0 et non de 1).