watfro360
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 | | Sujet: Inegalité Mer 14 Nov 2018, 19:43 | |
| soient a,b et c trois réels positifs. Montrer que :
(a+b)²⁄c + c²⁄a ≥ 4b | |
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aymanemaysae
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| | Sujet: Re: Inegalité Jeu 15 Nov 2018, 13:27 | |
| Bonjour;
L'expression de l'inégalité est définie pour : a et c des nombres réels non nuls .
(a + b)²/c + c²/a ≥ 4b <=> (a(a + b)² + c³)/(ac) ≥ 4b <=> a(a + b)² + c³ ≥ 4abc
<=> a(a² + 2ab + b²) + c³ ≥ 4abc <=> a(a² + 2ab + b²) + c³ - 4abc ≥ 0
<=> a³ + 2a²b + ab² + c³ - 4abc ≥ 0 <=> ab² + (2a² - 4ac)b + (a³ + c³) ≥ 0
<=> ab² + 2a(a - 2c)b + (a³ + c³) ≥ 0 .
Le discriminant de ce trinôme en "b" est :
D = 4a²(a - 2c)² - 4a(a³ + c³) = 4a²(a² - 4ac + 4c²) - 4a^4 - 4c^4
= 4a^4 - 16a³c + 16a²c² - 4a^4 - 4ac³ = - 16a³c + 16a²c² - 4ac³
= - 4ac(2a - c)² .
Si a = c alors D = 0 et le trinôme en "b" est un carré .
Si a différent de c on a : D < 0 , donc le trinôme ne s'annule pas et garde
le signe du coefficient de second degré qui est "a" , et comme on a : a> 0 ;
donc le trinôme est positif .
Conclusion :
Dans tous les cas , le trinôme en "b" est positif ,
donc l'expression : (a + b)²/c + c²/a ≥ 4b est vérifiée .
Dernière édition par aymanemaysae le Lun 26 Nov 2018, 08:50, édité 1 fois | |
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watfro360
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| | Sujet: Re: Inegalité Ven 16 Nov 2018, 16:55 | |
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Oeil_de_Lynx
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| | Sujet: Re: Inegalité Sam 17 Nov 2018, 11:48 | |
| BJR au Forum .
BJR Aymanemaysae .
Il n' y a rien à rajouter ....
Bravo , Tu fais du Très Bon Job !!!
Seulement à la Ligne 2 :
" L' expression de l'inégalité est définie pour : a et b des nombres réels non nuls "
Remplacer b par c .
Car la variable b ne pose aucun souci.
Bon Week- End à Vous . | |
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nmo
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| | Sujet: Re: Inegalité Dim 18 Nov 2018, 18:14 | |
| - watfro360 a écrit:
- soient a,b et c trois réels positifs. Montrer que :
(a+b)²⁄c + c²⁄a ≥ 4b En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwartz, on obtient: \left(\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge (a+b+c)^2) . En utilisant l'inégalité arithmético-géométrique, on obtient: ^2\ge 4b(a+c)) . En combinant les deux inégalités, on obtient: \left(\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge 4b(a+c)) . Par conséquent, on trouve: ^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 4b) . CQFD. Sauf erreurs. | |
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aymanemaysae
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| | Sujet: Re: Inegalité Lun 26 Nov 2018, 08:51 | |
| Bonjour;
Bien vu Oeil_de_Lynx : j'ai rectifié mon erreur . Merci . | |
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