inégalité [iwofm]

soient
prouver que
$\frac{a+b}{1-ab}+\frac{b+c}{1-bc}+\frac{a+c}{1-ac}\leq 2\frac{a+b+c-abc}{1-ab-ac-bc}$.
désolé les amis mais il ve po s'afficher.

EDIT par mathman : voilà,

je donne ici les grandes lignes de la démonstration. On utilise le changement de variable
a = tg(x), b = tg(y) et c = tg(z)
la condition sur l'intervalle (peut être devrait il être ouvert?) nous permet
d'affirmer que les angles x, y et z sont positifs et plus petit que 30°. Ainsi
leur somme est plus petite que 90° et l'on aura pas de problème si on prend sa tangente. Remarquons aussi que sur cette portion de l'espace la tangente est convexe.
on utilise la formule :tg(x+y) = {tg(x)+tg(y)}/{1-tg(x)tg(y)} (F)

l'inégalité à démontrer devient alors
2tg(x+y+z) >= tg(x+y) + tg(y+z) + tg(z+x)

on suppose que x>=y>=z,
l'idée de la démonstration est de regénérer à plusieurs reprises le terme tg pour pouvoir utiliser l'inégalité de Karamata.
on écrit
A = 2tg(x+y+z) - tg(x+y) - tg(y+z) - tg(z+x)
B = 2tg(2y+z) - tg(2y) - 2tg(y+z)
C = 2tg(3z) - 3tg(2z)

A - B = 2tg(x+y+z) + tg(2y) + tg(y+z) - tg(x+y) - tg(z+x) - 2tg(2y+z)

ceci est positif grace a l'inégalité de Karamata.
on démontrera de même que B - C est positif.

En utilisant la formule (F) on démontre que C est positif. Ce qui achève la
démonstration.