Un entier?

soit n de N*

montrer que A_n=n/3 + n²/2 + n^3/6 est un entier

Mahdi a écrit:

soit n de N*

montrer que n/3 + n²/2 + n^3/6 est un entier

A=n/3 + n²/2 + n^3/6
indication : pour montrer que A est entier -montrez que 6 divise 2n+3n²+n^3

on a pas d'indications pour n,car on a l'habitude de faire ce genre d'exos pour tout n de IN prouvez qq chose.
et ici si on prend 2 par exemple : 3*2+2*4+8=6+8+8=22 n'est pas divisible par 6

Je crois qu'il ya une faute dans l'enoncé!! je vais le regler apres

Mahdi a écrit:

Je crois qu'il ya une faute dans l'enoncé!! je vais le regler apres

uki

c mieu

Voila c'est reglé

Mahdi a écrit:

Voila c'est reglé

mn indication aussii

bsr
alors,on a :=
ici on veut montrer que ce nombre est divisible par 6,alors on vas étudier les cas,selon les quels:
alors il reste a vérifié que:
2+3+1 est divisible par 6.
2*2+3*2²+2^3 est divisible par 6.

...

2*5+3*5²+5^3 divisible par 6.
et on trouvera que pour tout n de IN ce nombre est un entier.
une confirmation??

qui a dit que étudier les leçons de la prochaine année n'est pas beau?
une autre methode par recurrence:
récurrence : Si quelque chose est vrai à rang n. Si cette chose est vraie au rang n+1 => alors cette chose est vraie pour tous les rangs supérieurs (par récurrence)

ici donc, on commence par vérifier que ce qu'on dois démontrer est vrai au rang n=1 (je cherche à démontrer la division par 6 )

2*1+3*1²+1^3=6, divisible par 6.

donc au rang 1 c'est bien vrai.

je cherche maintenant à prouver que si c'est vrai au rang n, ca le sera au rang n+1.

je calcule donc 2(n+1)+3(n+1)²+(n+1)^3 et trouve assez rapidement (2n+3n²+n^3) + 3*(2+3n+n²)

le premier terme est divisble par 6 , puisque nous partons de l'hypothèse que c'était vrai au rang n.

ensuite, on démontre facilement que le deuxième est aussi divisble par 6 (en effet,
-si n pair, 3n pair et n² pair,
-et si n impair, 3n impair et n² impair, donc 3n+n² pair).

et donc, la somme de deux multiples de 6 est un multiple de 6.

voila, on vien de montrer que c'était vrai au rang n+1, et donc par récurrence, pour tout n appartenant à N*
une autre confirmation??

slt
on a A=n/3 + n²/2 + n^3/6 ==>(2n+3n²+n^3)/6
on a 3n²+n^3 <==> n²(3+n) qui est divisble par 2 (simple de la prouvé avec distinction des cas)

alors on a A/2 (car 2n/2 et 3n²+n^3/2)
montrons que A/3: alors :
A≡0[3]

en prend les cas si n≡0[3] et n≡1[3] et n≡2[3]
en fin on trouve que A/3
D'où en deduit que A/2*3=6
donc A est un entier
(Pour les TC la symbole / signifie DIVISE par exemple a/b ==>b=ka (k€Z) )
---BEstFriend---

SVP je n'arrive pas à comprendre cette écriture n≡0[3]

A=n(n+1)(n+2)/6

le produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6 !

abdelbaki.attioui a écrit:

A=n(n+1)(n+2)/6

le produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6 !

oauis ! il est divisible par 3 et par 2 !

abdelbaki.attioui a écrit:

A=n(n+1)(n+2)/6

le produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6 !

mais on veut des methodes d TC

Par une recurrence ? c'est evident !!

Pour n = 1 : 1/3+1/2+1/6=1 entier

supposons que A_n=n/3 + n²/2 + n^3/6 est entier , montrons que A=n+1=(n+1)/3 + (n+1)²/2 + (n+1)^3/6 est aussi entier

on a (n+1)/3 + (n+1)²/2 + (n+1)^3/6= 1+n+A_n +n(n+1)/2 qui est entier

alors A_n est entier

Mahdi a écrit:

Par une recurrence ? c'est evident !!

Pour n = 1 : 1/3+1/2+1/6=1 entier

supposons que A_n=n/3 + n²/2 + n^3/6 est entier , montrons que A=n+1=(n+1)/3 + (n+1)²/2 + (n+1)^3/6 est aussi entier

on a (n+1)/3 + (n+1)²/2 + (n+1)^3/6= 1+n+A_n +n(n+1)/2 qui est entier

alors A_n est entier

la récurrence c pa niveau tc
mais com mm merci ( franchemen g po compris )

Essayer avec l'indication de devil13 je pense que c'est la seule methode convenable pour tc?

j'ai un peu bidouiller pour raisonner par reccurence

MejorAmigo a écrit:

sami a écrit:

qui a dit que étudier les leçons de la prochaine année n'est pas beau?
une autre methode par recurrence:
récurrence : Si quelque chose est vrai à rang n. Si cette chose est vraie au rang n+1 => alors cette chose est vraie pour tous les rangs supérieurs (par récurrence)

ici donc, on commence par vérifier que ce qu'on dois démontrer est vrai au rang n=1 (je cherche à démontrer la division par 6 )

2*1+3*1²+1^3=6, divisible par 6.

donc au rang 1 c'est bien vrai.

je cherche maintenant à prouver que si c'est vrai au rang n, ca le sera au rang n+1.

je calcule donc 2(n+1)+3(n+1)²+(n+1)^3 et trouve assez rapidement (2n+3n²+n^3) + 3*(2+3n+n²)

le premier terme est divisble par 6 , puisque nous partons de l'hypothèse que c'était vrai au rang n.

ensuite, on démontre facilement que le deuxième est aussi divisble par 6 (en effet,
-si n pair, 3n pair et n² pair,
-et si n impair, 3n impair et n² impair, donc 3n+n² pair).

et donc, la somme de deux multiples de 6 est un multiple de 6.

voila, on vien de montrer que c'était vrai au rang n+1, et donc par récurrence, pour tout n appartenant à N*
une autre confirmation??

je viens d'entendre que vous voulez pas de recurrence

moi j'ai rien dis

moi nn plus ^^