problème N°80 de la semaine (07/05/2007-13/05/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
d_n=PGCD(S_(n+1),S_n)=PGCD(S_n+2n+1,S_n)=PGCD(S_n,2n+1)
Mais, 4S_n=(2n+1)(2n-1)+401 ==> d_n divise 401 premier
==> d_n=1 ou 401
==> Max{d_n /n>=1}=401 car ce maximum est atteint pour n=200
A+

salut tout le monde
solution postée
voici la solution de boukharfane radouane
Salut Samir.

D’abord on remarque que S (n+1)=S (n) +2n+1.

Alors D (n) =(S (n+1), S (n)) = (n²+100, 2n+1) = (2n+1, n-200) = (n-200,401).

D’où D (n) divise 401.alors D (n) peut prendre deux valeurs : 1 ou 401 puisque 401 est premier. Donc la valeur maximale de D (n) est 401.

Bonjour

Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir


Soit n >= 1

On a : S_n = n² +100 et S_(n+1) = (n+1)² +100
On a : S_(n+1) = S_n + (2n +1)
d_n = S_n /\ S_ (n+1) =====> d_n / (2n +1)
Or 4S_n = (2n+1)(2n-1) + 401 ===> d_n / 401
===> d_n =1 ou d_n = 401 ( 401 est premier )

=====> max d_n = 401

salluuuutttt
solution postée
voici la solution de stof065
On a
m£dn<==>m/Sn et m/Sn+1
<==>m/Sn+1 – Sn
<==>m/2n+1
On a
n²+100=0[m]<==>n²+n+100=n[m]
<==>n(n+1)=n-100[m]
<==>n²+n(n+1)=n²+n-100[m]
<==>n(2n+1)=n²+n-100[m]
On a 2n+1=0[m] cela implique que n²+n-100=0[m]
n²+n=100[m](1)
On a m/Sn ça veut dire n²=-100[m]
n²+n=n-100[m](2)
On déduit de (1) et (2)
Que n-100=100[m]
De cela on déduit que n=200[m]
2n+1=401[m]
On a 2n+1=0[m]
On déduit que m/401
Puisque 401 est premier
m=D (401)= {1.401}
On déduit que
Max (dn)=401
A+