inegalité clas

x, y ,z >0 appartient a R qui satisfait :

montrez que (x+y)(y+z)>=2


P.S: c'est du l'olimpiade tronc commun

Bonjour !

(x+y)(y+z) = xy+ xz + y² +yz = xz + y (x+y+z)
et on a xyz(x+y+z)=1 <==> y (x+y+z) = 1/(xz)
Or (x+y)(y+z) = xz + 1/(xz)
On sait que pour tout a £ IR* on a a + 1/a >= 2
On conclut que (x+y)(y+z)>=2

bien joué

Merci, je l'avais déjà fait. Il figure dans le livre d'olympiade de sami

relena a écrit:

Bonjour !

(x+y)(y+z) = xy+ xz + y² +yz = xz + y (x+y+z)
et on a xyz(x+y+z)=1 <==> y (x+y+z) = 1/(xz)
Or (x+y)(y+z) = xz + 1/(xz)
On sait que pour tout a £ IR* on a a + 1/a >= 2
On conclut que (x+y)(y+z)>=2

bien joué

Merciiiiii
Mais jecrois que j'ai fait une petite faute :
On pour tout a de IR*+ a +1/a >=2

Plus rapide :

(x+y)(y+z) = y(x + y + z) + xz

Or d'après l'IAG on a :

y(x + y + z) + xz >= 2V[xyz(x + y + z)] = 2

Guillaume.B a écrit:

Plus rapide :

(x+y)(y+z) = y(x + y + z) + xz

Or d'après l'IAG on a :

y(x + y + z) + xz >= 2V[xyz(x + y + z)] = 2

la classe

Guillaume.B a écrit:

Plus rapide :

(x+y)(y+z) = y(x + y + z) + xz

Or d'après l'IAG on a :

y(x + y + z) + xz >= 2V[xyz(x + y + z)] = 2