equa fonc

trouver toutes les fonction de R ver R tel que pour tous réél x,y,z,t on a:
(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+zy)

f=0 ou 1/2
ou bien f n'est pas constante
y=t=0 -> f(0)=0
y=t et z=0 -> f(xt)=f(x)f(t)
z=y=0 et t=x -> f(x)^2=f(x^2) donc f(-x)=f(x) ou f(-x)
or z=y=-x et t=x -> (f(x)+f(-x))^2=f(2x^2) donc f(-x)=f(x)
z=x et t=y -> 4f(x)f(y)=f(2xy) donc f(2)=4 et donc f(1)=1
par récurence f(n)=n^2 on passe a n+1
x=n et y=z=t=1 -> 2(f(n)+1)=f(n+1)+f(n-1)
donc f(n+1)=(n+1)^2
p^2*f(1/p)=f(p)*f(1/p)=f(1)=1
donc f(1/p)=1/p^2
et f(p/q)=(p/q)^2
si f est continue alors f(x)=x^2 car Q dense dans R
sinon
f(x^2)=f(x)^2
par récurence f(x^n)=f(x)^n de n a n+1
f(x^(n+1))=f(x)*f(x^n)=f(x)^(n+1)
de meme f(x^y)=f(x)^y avec y dans Q+
donc pour les nombres algébriques (racines de polynomes dans Q)
on a toujours f(x)=x^2
..sinon je c pas démontrer le cas général

Bonsoir Raa23 !!
Tu as dit:
<<et f(p/q)=(p/q)^2
si f est continue alors f(x)=x^2 car Q dense dans R >>
En fait tu n'as pas besoin forcément de la continuité , la monotonie de f suffirait !!!!
Supposons par exemple f croissante sur IR
Tout nombre réel x peut etre approché à GAUCHE par une suite (Rn) de rationnels croissante strictement
( On sait aussi que x peut etre approché à DROITE par une suite (Sn) de rationnels strictement décroissante ) et ceci du fait que Q est dense dans IR
Alors ,on pourra écrire :
puisque pour tout n , Rn<x<Sn, f(Rn)<=f(x)<=f(Sn)
Or f(Rn)=Rn^2 et f(Sn)=Sn^2 , ainsi Rn^2<=f(x)<=Sn^2
En passant aux limites quand n------>00 dans l'encadrement précédent , on obtiendra ( Théorème des Gendarmes ) :
x^2<=f(x)<=x^2 soit f(x)=x^2 Ce que nous voulions !!!!!
LHASSANE

tres juste BOURBAKI
mais j'ai pas di ca dans mon poste car kom tu l'a constaté si on arrive a montrer que f est monotone alors nécessairement f est continue car du coup f(x)=x^2

Salut Raa23 !!
En fait ici , f(r)=r^2 si r est dans Q ; f est continue sur Q .
Sur tout segment [a,b] de Q , a,b dans Q , ne pourrait-on pas utiliser le Théorème du Prolongement par Uniforme Continuité appliqué à f sur le segment [a,b] de Q
et en déduire que f(x)=x^2 pour tout x dans IR , a<=x<=b ?????? LHASSANE

otman4u a écrit:

trouver toutes les fonction de R ver R tel que pour tous réél x,y,z,t on a:
(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+zy)

Je pense que Raa23 et Bourbaki, à eux deux, ont donné tous les éléments de la solution:

1) deux solutions constantes : f(x)=0 et f(x)=1/2
2) Si f non constante:
y=t=0 ==> f(0)=0
z=t=0 ==> f(xy)=f(x)f(y) et f(1)=1. Notons aussi que 0 est la seule racine de f(x)=0 puisque sinon f(xy)=f(x)f(y) impliquerait f constante nulle.
f(xy)=f(x)f(y) ==> f(a^n)=f(a)^n, donc f(x^y)=(f(x))^y pour tout y rationnel.
x=y=z=t=1 ==> f(2)=4 ==> f(2^x)=2^(2x) et donc f(x)=x^2 pour tout x de la forme 2^y avec y dans Q.

Mais : y=z=0 et x=t ==> (f(x))^2 = f(x^2) ==> f(x) > 0 pour tout x > 0
Et y=z=1 et x=t>0 ==> (f(x)+1)^2 = f(1+x^2) ==> f(x)>1 pour tout x> 1 et comme f(xy)=f(x)f(y), f(x) est strictement croissante sur R+

Comme l'a alors montré Bourbaki, f(x)=x^2 sur R+

x=y=0 et t=1 ==> f(z)=f(-z) et f est paire

Donc f(x)=x^2 pour tout x de R et on vérifie que cette condition nécessaire est bien suffisante.

Et les trois solutions :
f(x)=0
f(x)=1/2
f(x)=x^2


Bravo Raa23 et Bourbaki.

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Patrick