Un espace de Banach qqs la norme

Soit E un e.v réel tel que E est un espace de Banach pour toute norme sur E. Montrer que E est de dimension finie

E un Banach tel que toutes les normes y soient équivalentes.

- toutes les normes sont équivalentes :

||_1 et ||_2 deux normes
||_3 = ||_1 + ||_2 est aussi une norme

Id : (E,||_3) -> (E,||_1) est C° (vu que ||_1 <= ||_3) et linéaire, d'après le théorème de Banach Id^-1=Id est aussi C°. Donc ||_3 et ||_1 sont équivalentes et donc ||_1 est ||_2 aussi

- toutes les applications linéaires sont C°

f un endo sur (E,||)
x -> |x| + |f(x)| est une norme sur E (facile à voir) donc équivalente à || et donc f est C°

- il suffit donc de montrer que si E est de dim infinie il y a des applis linéaires non C°

Exemple classique :

On prend une famille libre (e(n)) (n€N) que l'on complète en une base e(i) (i € I) (toujours possible grâce à Zorn et son orchestre)

On considère la "dérivation formelle" sur (e(n))
f : e(n) -> n*e(n) et e(i) = e(i) si i \notin N

|f(e(n)|/|e(n)| = n non borné : f est non continue


-------

Tu as vu Samir, j'ai fait un effort de rédaction hein !

Attention
Pourquoi Id : (E,||_1) -> (E,||_2) est C°?

Voici une preuve de toutes les normes sont équivalentes:
Soient ||1 et ||2 deux normes qlq.
id : (E,||1+||2) --->(E,||i) est linéaire bijective continue entre deux Banach; alors d'aprés le théorème de Banach elle est bicontinue ( son inverse est continue)
D'ou le résultat

abdelbaki.attioui a écrit:

Attention
Pourquoi Id : (E,||_1) -> (E,||_2) est C°?

oui y'a aucune raison a priori, je voulais appliquer le théorème de Banach mais ça marche pas comme ça.