Sous groupe

Soit A une partie non vide , stable et finie d'un groupe G

Montrer que A est un sous groupe de G

Soit a€A
l'application f : x--> ax de A dans A est bien définie et injective. Comme A est fini elle est alors bijective .
soit e l'élément neutre du groupe G. il existe b€A tq ab=a
==> b = e ==> e€ A .
il existe a'€A tq aa'=e ==> l'inverse de a est dans A.

Une autre preuve

Par stabilité de A ,l'ensemble des elements s'ecrivant sous la forme x^n avec n £ N est inclu dans A.

Soit f l'application : n ---> x^n f est bien definie de N vers A et non injective. et soit e l'element neutre de G

alors il existe deux entiers n et p avec n>p tel que x^n=x^p

d'ou x^n-p=e £ A

donc A contient e.

d'autre part x^n-p=x^(n-p-1)x=e

d'ou l'inverse de x est x^n-p-1

On en deduit que A est un sous groupe de G