equation fonctionnelle dans IN

trouver toutes les fonctions f telles que

pour tout entier a ?ou a est 1 entier connu

si pour tout a :
pour a=0 on a f(b²)=f²(b)
dou f(b)=0 ou f(b)=1 ou f(b)=b^n
reciproquement on trouve que f(b)=0 ou f(b)=1

f(b)²=f(b²) (b>0)
En particulier, f(1)=f(1)²
Si f(1)=0, alors une recurrence donne f(n)=0 (n>0) f(0)=?
Si f(1)=1, alors ......

l ennoncé nest pas complete
il faut preciser si a est un entier connu, ou la relation se verifiepour tout a

Je pense qu'il faut être plus précis que ce qui a été dit dans le cas où l'équation est valable pour tout a :

Notons P(a,b) , avec b>a, la propriété f(b-a)f(b+a)=f(b^2).

1) d'abord f(0) peut être absolument quelconque puisque aucune contrainte ne s'exerce dessus
2) P(0,1) ==> f(1) = f(1)^2 ==> f(1) vaut 0 ou 1
2.1) f(1) = 0
P(b-1,b) ==> f(b^2) = 0 pour tout b > 0
P(0,b) ==> f(b^2) = f(b)^2 pour tout b > 0 et donc
f(b) = 0 pour tout b >0
2.2) f(1) = 1
Alors, disons f(2) = c
P(0,2) ==> f(4) = c^2
P(1,2) ==> f(3) = c^2
P(1,3) ==> f(9) = c^3
P(0,3) ==> f(9) = c^4
==> c^3 = c^4 ==> c = 0 ou 1
2.2.1) c = 0
P(b-2,b) ==> f(b^2) = 0 pour tout b > 1
P(0,b) ==> f(b^2) = f(b)^2 pour tout b > 0
==> f(b) = 0 pour tout b > 1
2.2.2) c = 1
P(b-1,b) ==> f(2b-1) = f(b^2) pour tout b > 0
P(b-2,b) ==> f(2b-2) = f(b^2) pour tout b > 1
Donc f(2b-1) = f(2b-2) pour tout b >1
P(b-3,b) ==> f(2b-3) = f(b^2) pour tout b > 2
Donc f(2b-3) = f(2b-2) pour tout b > 2
Donc f(b) = 1 pour tout b > 2

Ainsi les solutions sont :

S1 : f(0) quelconque et f(n)=0 pour tout n > 0
S2 : f(0) quelconque et f(n)=1 pour tout n > 0
S3 : f(0) quelconque, f(1)=1, f(n)=0 pour tout n > 1

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Patrick