Equa. Dif. non linéaire, AIDEZ MOI SVP

Bonjour,

dans le cadre d'un stage en cours, je me retrouve avec une équation différentielle non linéaire dans le style:

a(y'(t))²+by'(t)+cy(t) + cte =0.

Quelqu'un saurait-til comment ça peut se résoudre?

Merci

C'est trop facile????

hadas a écrit:

C'est trop facile????

BJR hadas !!
Pas du tout !!! Votre Equa-Diff n'est pas du genre "typée" et facilement résoluble !!!
Dans quel domaine mathématique intervient-elle ??
Avez-vous essayé d'utiliser les logiciels de Calcul Symbolique tels MAPLE ou MATHEMATICA ????

LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

hadas a écrit:

C'est trop facile????

BJR hadas !!
Pas du tout !!! Votre Equa-Diff n'est pas du genre "typée" et facilement résoluble !!!
Dans quel domaine mathématique intervient-elle ??
Avez-vous essayé d'utiliser les logiciels de Calcul Symbolique tels MAPLE ou MATHEMATICA ????

LHASSANE

Merci Oeil _de_Lynx, je commençais à désespérer.

En ce qui concerne les logiciels, ils proposent en gros des résolutions uniquement pour les équa. diff. linéaires.

J'utilise actuellement Mathcad. Pour information, il s'agit d'une équation qui provient d'une modélisation en mécanique des fluides

Re-BJR !!
Il est vrai qu'elle n'est pas triviale à résoudre !!
C'est donc un pb particulier de Méca des Fluides qui a généré cette Equa-Diff ; c'est pour cette raison qu"elle n'est pas typée !!
Le plus souvent , il faut essayer des Algos ( Analyse Numérique ) en vue d'approcher numériquement la Soluce en espérant qu'il y a unicité !!!!
Je vais fouiller 1 peu + et si je trouve qqquechose pour vous , je me ferais un plaisir de vous le dire !!!
Est ce que a,b et c sont des coefficients constants ???

LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

Re-BJR !!
Il est vrai qu'elle n'est pas triviale à résoudre !!
C'est donc un pb particulier de Méca des Fluides qui a généré cette Equa-Diff ; c'est pour cette raison qu"elle n'est pas typée !!
Le plus souvent , il faut essayer des Algos ( Analyse Numérique ) en vue d'approcher numériquement la Soluce en espérant qu'il y a unicité !!!!
Je vais fouiller 1 peu + et si je trouve qqquechose pour vous , je me ferais un plaisir de vous le dire !!!
Est ce que a,b et c sont des coefficients constants ???

LHASSANE

Merci, je compte sur vous;

a, b, c sont tous des coefficcients constants. C'est moi qui les ai posés.

si je me rappelle bien,tu peux chercher la méthode de la résolution de l'équation de lagrange et de Clairaut,je pense qu'il donne les solution explicites de ce genre d'équations,mais chose sur et ceraton c'est qe cette équation est solvable (à condition que a,b et c sont des constantes,sinon je pense as!)

au cas où vous n'êtes pas arrivé à trouver une solution analytique, l'utilisation de l'analyse numérique est assuré, en effet, il suffit de trouver une fonction f tel que : y'(t)=f(t,y(t)), ainsi vous pouvez directement utiliser l'un des algorithmes d'analyse numérique à savoir par exemple Runge Kutta d'ordre 4 qui donne un résultat avec une précision de 10^(-7) a peu près ...

mathématica peut trouver la solution exacte :



alors on voit que l'existence n'est pas unique, et il n'existe pas de solution analytique exprimée par les fonctions usuelles car ProductLog existe dans la formule ( ProductLog[x] donne y tq : x=y exp(y) ) ...
et la solution n'existe que pour des valeurs determinée pour (a, b, c, cste, condition initiale)

BSR à Toutes et Tous !!!

L'équa-diff proposée par hadas est plutot " Uggly Diff.Equation " !!
Pour sortir du " Non Linéaire " , on dérive une fois :
<< a(y'(t))²+by'(t)+cy(t) + cte =0 >>
pour obtenir :
y''.{2ay'+b}=-cy'
soit :
y"=-{cy'/(2ay'+b)}
Si on pose maintenant y'=Y alors on obtient :
(2a/c).Y'+(b/c).(Y'/Y)=-1
qui s'intègre selon :
(2a/c).Y+(b/c).Ln(|Y|)=-x+C
Ceci est une équation implicite (assez vache ) permettant d'obtenir Y en fonction de x .... ce qui me fait penser à cette fonction ProductLog de Mathematica ( Voir post de hypermb ci-dessus )

Maintenant , ce qui reste à rajouter c'est que les soluces de l'équation initiale se recrutent parmi les soluces de cette seconde puisqu'il n'y a pas équivalence !!!

Si cela peut aider .........

LHASSANE

BSR à Toutes et Tous !!!
BSR hadas !!

A défaut de trouver une méthode concrète , il reste encore à explorer :
1) La recherche de solutions développables en Série Entière ;
2) La Transformée de Fourier ou de Laplace ( que l'on étudie en Théorie des DISTRIBUTIONS voir Laurent SCHWARTZ ) conduisant à des Solutions Distributions ( ce qui pourrait ne pas vous convenir car vous voulez , je présume , des solutions concrètes et explicites ) .

LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

BSR à Toutes et Tous !!!
BSR hadas !!

A défaut de trouver une méthode concrète , il reste encore à explorer :
1) La recherche de solutions développables en Série Entière ;
2) La Transformée de Fourier ou de Laplace ( que l'on étudie en Théorie des DISTRIBUTIONS voir Laurent SCHWARTZ ) conduisant à des Solutions Distributions ( ce qui pourrait ne pas vous convenir car vous voulez , je présume , des solutions concrètes et explicites ) .

LHASSANE

Bonjour à tous,

je vous remercie de l'attention portée au problème; je ne suis pas arrivé plutôt car j'étais en réunion toute la matinée.

Mon avis en fonction des approches qui ont été données est le suivant:

Concernant le dernier message de Oeil_de_Lynx:
j'ai regardé la transformée de Laplace et pour les équa diff. non linéaire, ce n'est pas recommandé. J'ai quand meme insisté et je ne sais comment remonter à la transformée de f² connaissant lcelle de la fonction f. Je pense que je rencontrerai le même problème en passant par la transformée de fourrier.
Quant à la distribution(je suppose que ça rejoint les stats), ca semble compliquer les choses; je ne sais si on pourrait obtenir une valeur de y pour chaque t. J'explorerai la piste du développement en séries entières. Pas mal l'approche par dérivation; je regaderais ça avec attention. Merci

Concernant l'approche de hypermb:
Ca semble interessant le logiciel Mathématica. J'ai matlab en perso, mais je ne peux m'en servir pour l'entreprise où je fais mon stage, question de license. Mathématica est il un freeware? Sinon pensez vous qu'il y ait moyen de le résoudre par Matlab?
Ce serait sympa si vous pouviez me donner l'allure de la courbe comme vous l'aviez fait avec les valeurs suivantes:
a=0.054 b=3.326 c=-873.147 cte=31.93.
J'explorerai également l'approche Range Kutta, sachant que l'approche dérivée que propose Oeuil_de_Lynx me donne une première équation pas trop loin de y'=f(t,y(t)).


Merci à tous pour vos solutions respectives; elles sont en cours d'exploration.

N.B, toute autre solution sera bonne à prendre. Merci

c'est quoi l'intervalle d'étude [a, b], et la condition initiale y(a) ?

hypermb a écrit:

c'est quoi l'intervalle d'étude [a, b], et la condition initiale y(a) ?

merci hypermb.

L'intervalle d'étude est [0 10]; en condition initiale, y(0)=0 au cas où tu pourrais en avoir besoin, y'(o)=6.24.

Merci à vous

Telecharger (code source compris) :
La 1ère version : http://hypermb.webou.net/RungeKutta.zip
La 2ème version : http://hypermb.webou.net/CalculPrecis.zip
Puis executer simplement le fichier executable ...

Le programme est configuré pour résoudre l'équation différentielle citée dans ce topic, si vous voulez re-configurer le code source pour la résolution d'autres ED, contactez moi !

NB : je décide que ce programme soit de licence gratuite

je note que pour ces valeurs de (a, b, c, cste), Mathématica n'a pas pu trouvé une solution exacte par contre il propose des solutions numériques tel que 'Runge Kutta', 'Extrapolation', 'QuasiNewton' etc ...

hypermb a écrit:

......
Telecharger (code source compris) :
La 1ère version : http://hypermb.webou.net/RungeKutta.zip
La 2ème version : http://hypermb.webou.net/CalculPrecis.zip
Puis executer simplement le fichier executable ...

Le programme est configuré pour résoudre l'équation différentielle citée dans ce topic, si vous voulez re-configurer le code source pour la résolution d'autres ED, contactez moi !

NB : je décide que ce programme soit de licence gratuite

BSR hypermb !!
Very impressive !!!!
Quelle générosité !!!!
Merci pour tes programmes et Bravo de les mettre à disposition en Freeware pour la Communauté , ce n'est pas souvent que l'on rencontre de l'obligeance et le goût du partage !!
Restes comme celà , c'est très B1 et Dieu te le rendra .

LHASSANE

PS : Ton Programme est développé sous quoi ??? J'ai identifié des bibliothèques .dll . C'est en C ou C+ ???
Moi aussi , je fais un peu de développement de Base de Données sous l'Atelier de Génie Logiciel Professionnel Windev ( que je possède avec Licence ).

Merci ... tout est en C, si vous voulez le modifier il vous faut un compilateur, Dev-C++ par exemple qui est gratuit et disponible sur le net, ainsi que la bibliothèque SDL (ainsi que SDL_image et SDL_ttf) nécessaire pour le graphisme, qui est gratuite aussi, la technique d'integration de cette bibliothèque est expliquée sur le net.

Ensuite, exécuter le fichier du projet, mnt vous pouvez modifier le code source (écrire une autre équation différentielle, changer les conditions initiaux, l'intervalle d'étude, les fonctions à afficher, et la plage d'affichage {Xmin,Xmax,Ymin,Ymax}, le pas utilisé etc ...) et puis recompiler afin de générer un exécutable avec les nouveaux paramètres ...

hadas a écrit:

Bonjour, dans le cadre d'un stage en cours, je me retrouve avec une équation différentielle non linéaire dans le style:

a(y'(t))²+by'(t)+cy(t) =K
avec a,b,c et K constantes données.

Quelqu'un saurait-t-il comment ça peut se résoudre?
Merci

BJR hadas !!
Un truc tout à fait élémentaire auquel je n'ai pas pensé !!!
C'est celà :
Votre équa-diff admet la solution constante y1= K/c comme solution particulière !! On se place naturellement dans la situation c<>0 .
Je garde en mémoire vos données :
a=0.054 b=3.326 c=-873.147 K=-31.93
On fait le changement y=Y+y1 alors , il vient que Y est solution de :
a.{Y'}^2 + b.Y' +c.Y=0
Et on regarde cette équation comme un TRINOME du SECOND DEGRE en Y' avec les coefficients a,b et c.Y
DELTA =b^2-4.a.c.Y
Une première exigence : Y<=(b^2/4.a.c)
( ce qui porte à croire que les solutions doivent être MAJOREES !!! )
Cela dit , on pourra exprimer Y’ en fonction de Y sous la forme :
Y’={1/(2.a)}.{-b+eps.{b^2-4.a.c.Y}^(1/2)}
Avec eps = 1 ou -1
C’est là la relation du type Y’=f(t ,Y) ou la variable t ne figure pas du reste et qui pourrait être l’objet de l’algo RK4 proposé par hypermb sans aucune perte d’information ; contrairement à ce que j’avais proposé plus haut :
<< dérivation de l’équa-diff >> pour supprimer la non-linéarité mais accompagnée d’une perte d’information .

Bon Dimanche à Vous , Toutes et Tous !!!

LHASSANE

Bjr à tous,

après un week end sans accès à Internet, je suis tout excité d'être à nouveau parmi vous.

Infiniment merci à hypermb pour les programmes mis à disposition. je vais sans plus tarder les faire tourner.

Un grand merci à Oeil_de_Lynx également pour toutes tes solutions et particulièrement cette dernière.

J'utiliserai vos diverses solutions et normalement, je devrais aboutir aux mêmes résultats.

Mille fois merci à tous, je vous tiens informés.

Hadas