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 Marathon de l'arithmétique

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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Jeu 26 Mai 2011, 18:45

Pour n =1 c'est vrai supposons que c'est vrai pour n et prouvons le pour n+1 .
On a :
de plus : D'ou leurs PGCD = 3 et vu que 9 divise le second , alors notre rapport accepte bien un diviseur premier différent des n autres CQFD .
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Jeu 26 Mai 2011, 19:04

Au moins un, mais pas exactement 1.
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Jeu 26 Mai 2011, 19:09

J'ai jamais dis exactement Wink .
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Juin 2011, 19:56

Donc comme problème 26, je propose :
Problème 26 : (*** : trois étoiles)
On définit une suite (a_n)_(n>=0) de la façon suivante :
a_0 = 1
a_(n+1) = (a_n)/2 si a_n est pair
a_(n+1) = a_n + d si a_n est impair
Trouver tous les entiers strictement positifs d tels qu'il existe un entier i non nul tel que a_i = 1.
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Juin 2011, 20:47

Spoiler:
 


Problème 27 :
La suite d'entier a1, a2, a3... est définit comme suit :
a1=1 et pour n>1 an est le plus petit entier strictement supérieur à
an-1 t.q ai+ aj ≠ 3ak pour tous i,j,k dans {1,2,...n} non nécessairement distincts .

Déterminer a2011


Dernière édition par Sylphaen le Mar 07 Juin 2011, 16:35, édité 1 fois
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Lun 06 Juin 2011, 14:45

Il est évident que (a_n)_(n>=1) est la suite des nombres impairs.
Ou alors j'ai mal compris un truc ?
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Mar 07 Juin 2011, 16:36

Désolé j'ai mal copié Embarassed , c'est plutôt " ai+aj≠3ak
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Mar 07 Juin 2011, 22:29

J'ai réussi à trouver une solution mais elle est très bavarde.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Mar 07 Juin 2011, 22:49

Solution au problème 27 :
Spoiler:
 
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Mer 08 Juin 2011, 15:40

Problème 28 : (* : une étoile)
Soient a,b et c des entiers naturels non nuls.
Montrer qu'il est impossible que a²+b+c, a+b²+c et a+b+c² soient tous des carrés parfaits.
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Mehdi.A
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Jeu 16 Juin 2011, 11:50

Par symétrie ma3échienne a>=b>=c => (a+1)²>a²+b+c>a² .. OVER ..
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Jeu 16 Juin 2011, 14:24

Donc à toi.
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Mehdi.A
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Jeu 16 Juin 2011, 14:42

mes problèmes sont MP********* donc impossible .
I have no problem to submit. Anybody feel free to take my turn.
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nmo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Ven 01 Juil 2011, 20:49

Je propose un nouveau problème:
Problème 29:
Montrez que: si la différence entre les cubes de deux entiers strictement positifs consécutifs est un carré, alors c'est le carré de la somme de deux carrés.
Bonne chance.
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Ven 01 Juil 2011, 21:48

nmo a écrit:
Je propose un nouveau problème:
Problème 29:
Montrez que: si la différence entre les cubes de deux entiers strictement positifs consécutifs est un carré, alors c'est le carré de la somme de deux carrés.
Bonne chance.
Je n'ai pas saisi ce que veut dire ce qui est en rouge.
Merci d'avance.
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helloall
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Ven 01 Juil 2011, 22:11

ca veut dire ca s'ecrit sous forme de (a^2+b^2)^2.
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Calculus
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Sam 02 Juil 2011, 10:24

Soit a un entier strictement positif tel qu'il existe un entier strictement positif b vérifiant :

(a+1)^{3}-a^{3}=b².

On a : (a+1)^{3}-a^{3}=b².
Développement : a^{3}+3a²+3a+1-a^{3}=b².
Simplification : 3a²+3a+1=b².
Factorisation : 3(a+0,5)²+0,25=b².
Equivalence : [V3(a+0,5)]²+0,5²=b².
Fin.

Sauf erreur.
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n.naoufal
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Sam 02 Juil 2011, 10:40

Je ne sais pas si c'est ce qu'on veut trouver à la fin, mais on est plus en arithmétique là, racine 3 et 1/2 ...
de 3a²+3a+1=b² il faut trouver autre chose qui reste dans Z.
Sauf erreur.
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Calculus
Féru


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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Sam 02 Juil 2011, 11:02

SVP éclaircir la consigne.
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nmo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Sam 02 Juil 2011, 20:23

Mehdi.O a écrit:
nmo a écrit:
Je propose un nouveau problème:
Problème 29:
Montrez que: si la différence entre les cubes de deux entiers strictement positifs consécutifs est un carré, alors c'est le carré de la somme de deux carrés.
Bonne chance.
Je n'ai pas saisi ce que veut dire ce qui est en rouge.
Merci d'avance.
Calculus a écrit:
SVP éclaircir la consigne.
Ce qui est en rouge veut dire que la différence définie au départ est elle même le carré de la somme de deux carrés.
Je donne un exemple pour mieux comprendre:
On a .


Dernière édition par nmo le Lun 04 Juil 2011, 18:19, édité 1 fois
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0000
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Lun 04 Juil 2011, 15:03

solution pour 29
on a m² =(n+1)²-n²= 3n²2 + 3n + 1, et on montre que m est la some de deux carrés
par une petite manipulation des termes on a
(2m)² - 1 = 3(2n + 1)² (c'est une équation de pell-fermat)

si p est premier et p|(2n + 1)²,
alors p|2m + 1 ou p|2m − 1,
mais p ne peut pas divider en même temps (2m + 1) et (2m - 1)
sinon, p|(2m+1)−(2m−1) = 2, qui est impossible puisque (2n+1)² is odd.

maintenant nous avons deux cas
2m + 1 = a² and 2m - 1 = 3b²,
or 2m + 1 = 3b² and 2m - 1 = a²
avec a et b sont des entiers
le premier cas implique
2m = a² - 1 = 3b² + 1 et a² = 3b² + 2 = 2 (mod 3)
ce qui est impossible car pour tout entier u, u^2 = 0 or 1 (mod 3)
donc,
2m - 1 = a² avec a est un nombre entier.

posons q = (a - 1)/2.
alors
q² + (q + 1)² = 2q² + 2q + 1 = {(2q + 1)² + 1}/2 = (a²+ 1)/2 = m.
QED
on peut aussi determiner exacrement q en resolvant l'equation de pell fermat signalé en haut :q=(1/2)[(1+sqrt(3))(2+sqrt(3))^k +(1-sqrt(3))(2-sqrt(3))^k] (et c'est un entier) avec k un nombre naturel
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Mer 06 Juil 2011, 13:39

je vais poster un exercice :
Supposons N=4^h.(8k+7), pour des entiers naturels h et k.
(a) monter qu'il existe une infinité de quitipules (a,b,c,d,e) d'entiers positifs tel que
N=(a²+b²+c²+d²+e²)/(abcde+1)
(b)montrer qu'il n'existe aucun quadruple (a,b,c,d) d'entiers positifs tel que :
N= (a²+b²+c²+d²)/(abcd+1)
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Abdek_M
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Mar 12 Juil 2011, 01:11

a) D'après le Théorème de Lagrange des quatres carrés il existe un quadruple tel que , i.e , donc ce théorème assure au moins une solution, si maintenant est une solution de telle que alors l'est aussi , Or il est facile de voir que et ainsi on obtient une solution plus grande (dans le sens large) et alors on aboutit immédiatement au resultat voulu

b)
supposons que est non vide , ainsi il est facile d'en déduire que E1 est infini donc il existe bien des quadruples tels que considérons maintenant l'ensemble et choisisons de cet ensemble un quadruple tel que soit minimale, supposons que cette quantité est non nulle et sans perte de géneralité supposons que comme est solution de l'equation alors est aussi une solution positive de cette equation donc appartient à E2, Or c'est donc que Or il est évident que donc ainsi et donc ce qui contradit la minimalité de , et ainsi l'un des et est nul c'est donc que N est une somme d'au plus trois carrés d'ou la contradiction avec le théorème connu de Legendre-Gauss
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Mar 12 Juil 2011, 10:17

oui ça me parait bon....ok propose un exo
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Abdek_M
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Mar 12 Juil 2011, 10:23

Ok je propose cet exo
Soient et des entiers naturels tels que ,
Montrer que l'ecriture de a en base contient au moins chiffres non nuls.
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