***Grand Jeu D'été de T.C->Première***

solution du problème:(sauf erreur):
on doit montrer que :-17/16≤4x²y-x-y≤17/16
il est facile de prouver que :4x²y-x-y=[(8xy-1)²-16y²-1]/16y (avec y différent de 0)
donc on doit prouver que -17/16≤[(8xy-1)²-16y²-1]/16y≤17/16
ou bien encore :-17≤[(8xy-1)²-16y²-1]/y≤17
1)-si y>0 alors
il suffit de prouver que : -17y≤(8xy-1)²-16y²-1≤17y
<=> 16y²-17y+1≤(8xy-1)²≤17y+16y²+1
------------------------------------------------------
on a x≤1/2 alors 64x²y²+1≤16y²+1
or -1/2≤x d'où -8y≤16xy d'où -16xy≤+8y
alors 64x²y²+1-16xy≤16y²+1+8y<16y²+1+17y
<=>(8xy-1)²≤16y²+1+17y
---------------------------------------------------------------------
on doit montrer que : 16y²-17y+1≤(8xy-1)²
<=> 16y²-17y+1≤64x²y²-16xy+1
<=>16y²-17y≤64x²y²-16xy
<=> 16y-17≤64x²y-16x (1)
----------------------------------------------------------------
on sait que y≤1 alors 16y-17≤-1
pour 64x²y-16x+1
on fait delta pour trouver que delta=16²-4.64.y=256-256y=256(1-y)<0
alors delta est négatif d’où le signe de 16x²y-16x+1 est le signe de 16y
or 16y est positif d’où 0≤64x²y-16x+1
alors -1≤64x²y-16x et on a 16y-17≤-1 alors 16y-17≤64x²y-16x
d’où 16y²-17y+1≤(8xy-1)² (2)
de (1) et (2) on a : 16y²-17y+1≤(8xy-1)²≤17y+16y²+1
------>:-17/16≤4x²y-x-y≤17/16 (a)
----------------------------------------------------------------------------
2)-si y<0 :
on doit prouver que : :-17≤[(8xy-1)²-16y²-1]/y≤17
---->17y≤(8xy-1)²-16y²-1≤-17y
<=> 17y+16y²+1≤(8xy-1)² ≤16y²-17y+1
on a x≤1/2 alors 64x²y²+1≤16y²+1
or x≤1/2 d'où 8y≤16xy d'où -16xy≤-8y
alors 64x²y²+1-16xy≤16y²+1-8y<16y²+1-17y (car -8y<-17y puisque y est négatif)
<=>(8xy-1)²≤16y²+1+17y

-------------------------------------------------------------------------------
on doit montrer que : 16y²+17y+1≤(8xy-1)²
<=> (y+1)(16y+1)≤16y²+17y+1
-------------------------------------------------
- si y≤-1/16------->(y+1)(16y+1)≤0
- d’où (y+1)(16y+1)≤16y²+17y+1
<=>16y²+17y+1≤(8xy-1)²
-------------------------------------------------------
-maintenant si -1/16≤y≤0
16y²+17y+1≤(8xy-1)²
<=> 16y²+17y+1≤64x²y²-16xy+1
<=>16y²+17y≤64x²y²-16xy
--->16y+17≥64x²y-16x (car y est négatif)
---------------------------------------------------------------------------
y≥-1/16 alors 16y+17≥16
on a y≤0 alors 64x²y≤0------>64x²y-16x≤-16x<16 (car -1/2≤x alors -16x≤8<16)
d’où 16y+17≥64x²y-16x
ce qui est équivalent à 16y²+17y+1≤(8xy-1)²
------------------------------------------------------------------
alors dans les deux cas on a 16y²+17y+1≤(8xy-1)² (4)
------------------------------------------------------------------------
de (3) et (4) on a 17y≤(8xy-1)²-16y²-1≤-17y
----->-17/16≤4x²y-x-y≤17/16 (b)
------------------------------------------------------------------
de (a) et (b) on a -17/16≤4x²y-x-y≤17/16
<=> |4x²y-x-y|≤17/16
et puis si y=0 on aura |4x²y-x-y|=|x|
|x|≤1/2
---->|4x²y-x-y|≤17/16
quel exo!!!!!!!

bonsoir .

il y a une autre méthode plus courte , il suffit de prendre la fonction :

f(y) = (4x^2-1)y - x où x est un paramètre dans [-1/2;1/2] .

et remarquer que f est une fonction affine ...........

@ + .

poste toute ta solution galois , car je crois que la solution da majdoulin n'est pas parfaitement juste .

bSr....
ah bon marwane ma solution n'est pas juste alors montre moi l'erreur!!!!!!!!!
Faut pas dire que c n'est pas juste sans le prouver!!!!!

majdouline a écrit:

solution du problème:(sauf erreur):
on doit montrer que :-17/16≤4x²y-x-y≤17/16
il est facile de prouver que :4x²y-x-y=[(8xy-1)²-16y²-1]/16y (avec y différent de 0)
donc on doit prouver que -17/16≤[(8xy-1)²-16y²-1]/16y≤17/16
ou bien encore :-17≤[(8xy-1)²-16y²-1]/y≤17
1)-si y>0 alors
il suffit de prouver que : -17y≤(8xy-1)²-16y²-1≤17y
<=> 16y²-17y+1≤(8xy-1)²≤17y+16y²+1
------------------------------------------------------
on sait que (8xy-1)²≤64x²y²+1 et on a x≤1/2 alors 64x²y²≤16y²
d'où 64x²y²+1≤16y²+1----->64x²y²+1≤16y²+1+17y
alors (8xy-1)²≤16y²+1+17y (1)
---------------------------------------------------------------------
on doit montrer que : 16y²-17y+1≤(8xy-1)²
<=> 16y²-17y+1≤64x²y²-16xy+1
<=>16y²-17y≤64x²y²-16xy
<=> 16y-17≤64x²y-16x
----------------------------------------------------------------
on sait que y≤1 alors 16y-17≤-1
pour 64x²y-16x+1
on fait delta pour trouver que delta=16²-4.64.y=256-256y=256(1-y)<0
alors delta est négatif d’où le signe de 16x²y-16x+1 est le signe de 16y
or 16y est positif d’où 0≤64x²y-16x+1
alors -1≤64x²y-16x et on a 16y-17≤-1 alors 16y-17≤64x²y-16x
d’où 16y²-17y+1≤(8xy-1)² (2)
de (1) et (2) on a : 16y²-17y+1≤(8xy-1)²≤17y+16y²+1
------>:-17/16≤4x²y-x-y≤17/16 (a)
----------------------------------------------------------------------------
2)-si y<0 :
on doit prouver que : :-17≤[(8xy-1)²-16y²-1]/y≤17
---->17y≤(8xy-1)²-16y²-1≤-17y
<=> 17y+16y²+1≤(8xy-1)² ≤16y²-17y+1
on sait que (8xy-1)²≤64x²y²+1 et on a x≤1/2 alors 64x²y²≤16y²
d'où 64x²y²+1≤16y²+1----->64x²y²+1≤16y²+1-17y (car -17y est positif)
d’où (8xy-1)² ≤16y²-17y+1 (3)

-------------------------------------------------------------------------------
on doit montrer que : 16y²+17y+1≤(8xy-1)²
<=> (y+1)(16y+1)≤16y²+17y+1
-------------------------------------------------
- si y≤-1/16------->(y+1)(16y+1)≤0
- d’où (y+1)(16y+1)≤16y²+17y+1
<=>16y²+17y+1≤(8xy-1)²
-------------------------------------------------------
-maintenant si -1/16≤y≤0
16y²+17y+1≤(8xy-1)²
<=> 16y²+17y+1≤64x²y²-16xy+1
<=>16y²+17y≤64x²y²-16xy
--->16y+17≥64x²y-16x (car y est négatif)
---------------------------------------------------------------------------
y≥-1/16 alors 16y+17≥16
on a y≤0 alors 64x²y≤0------>64x²y-16x≤-16x<16 (car -1/2≤x alors -16x≤8<16)
d’où 16y+17≥64x²y-16x
ce qui est équivalent à 16y²+17y+1≤(8xy-1)²
------------------------------------------------------------------
alors dans les deux cas on a 16y²+17y+1≤(8xy-1)² (4)
------------------------------------------------------------------------
de (3) et (4) on a 17y≤(8xy-1)²-16y²-1≤-17y
----->-17/16≤4x²y-x-y≤17/16 (b)
------------------------------------------------------------------
de (a) et (b) on a -17/16≤4x²y-x-y≤17/16
<=> |4x²y-x-y|≤17/16
et puis si y=0 on aura |4xay-x-y|=|x|
|x|≤1/2
---->|4x²y-x-y|≤17/16
quel exo!!!!!!!

ce qui est en rouge n'est pas toujours juste

bonsoir .

soit f(y) = (4x^2 - 1)y - x avec x un paramètre dans I = [-1/2;1/2] .

comme x app à I alors : 4x^2-1 =< 0 .

et par suite f est décroissante sur [-1;1] .

donc pour tout y dans [-1;1] on a :

-1=< y =< 1 ==> f( 1) =< f(y) =< f(- 1) .

==> 4x^2 - x - 1 =< f(y) =< - 4x^2 - x +1 : (*) .

or , 4x^2 - x - 1 = 4(x - 1/8 )^2 - 17/16 >= - 17/16 .

et - 4x^2 - x +1 = - 4(x - 1/8 )^2 + 17/16 <= 17/16 .

d'où de (*) on déduit que : - 17/16 =< f(y) <= 17/16 .

ce qui veut dire : |4x^2y- y - x| =< 17/16 .

@ + .

bonsoir marouane .

** pour ce qui est en rouge c'est juste sauf pour les cas y < 0 ,

@ + .

(8xy-1)²≤64x²y²+1 cela sighnifie que -16xy<0 et ça n'est toujours juste . il faut une disjonctions des cas aussi pour x

bonsoir .

oui marouane , elle doit ecrire : (8xy - 1)^2 >= 64x^2y^2 + 1 pour le cas y < 0 .

@ + .

svp galois prouve que f est décroissante sur [-1;1] .
et ta solution sera correcte

bonsoir .

soient y et y' deux élément de [-1;1] .

donc , y < y' ==> (4x^2 - 1)y >= (4x^2 - 1)y' ( car : (4x^2-1)=< 0 pour tout x dans I ) .

==> (4x^2-1)y - x >= (4x^2-1)y' - x .

==> f(y) >= f(y') .

ce qui prouve que f est décroissante sur [-1;1] .

@ + .

bravo, poste

bonsoir .

déterminer les entiers naturels m et n tel que :

(Vm+V2)/(Vn+V3) app à Q ( rationnel ) .

@ + .

je pense que: nombre réel +un nombre =nombre réel
donc V2+Vm et V3+Vn sont toujours réels
donc m=3 et n=2

bonjour .

qui nous dit qu'il ya pas d"autres valeurs de m et n !!!!!!!!!!!!!!! .

il faut une preuve pour ça marouan .

@ + .

pour marouan 777

m=3 , n=2

(V3 + V2)(V2 + V3) = rationnel ???????? je vois pas!!!

...................................................

houssa a écrit:

pour marouan 777

m=3 , n=2

(V3 + V2)(V2 + V3) = rationnel ???????? je vois pas!!!

...................................................

salut
mais M;Houssa c'est (V3 + V2)/(V2 + V3) et non (V3 + V2)(V2 + V3)

voila ce que j'ai trouvé comme demonstration(pas sur) meme si je crois que
irrationel +irrat.=irrat. est evident .
Vm+V2/Vn+V3 app a IQ signifie Vm+V2/Vn+V3=a/b ( a et b app a IN et b non nul).
il suffit de prouver que Vm+V2 n'est pas entier
on suppose que Vm+V2 =a (a app IN) ==> m=a²+2-2aV2
on sait que nombre irrationnel +nombre entier=nombre irrationnel
donc on prouve que 2aV2 n'est pas entier naturel
on suppose que c'est vrai ==> 2aV2=V2x=y (x=2a et y nombre entier)
2x²=y² ==> y est paire =>y²=(2^n)²==> x²=2^2n-1==> (2^m)²=2^2n-1 ce qui st impossible Vm+V2 n'est pas entier

excuses moi marouan 777

ta rédaction n'est pas acceptable :

un entier est aussi réel

2 +3 = 5

un réel + un entier = un entier ???

je pense que tu dois préciser ce que tu entends par réel

moi je pense que tu veux dire irrationnel.

......................................

oui c'est ça dsl.

marouan777 a écrit:

irrationel +irrat.=irrat. est evident .

Salut, (V2)+(-V2)=0 rationel
V:=racine caré

mais lisez bien Mr younssi le probleme, tous les termes sont positives

marouan777 a écrit:

mais lisez bien Mr younssi le probleme, tous les termes sont positives

oui, mais prend par exemple V2 + (3-V2)

baaaah oui,mais essai de prendre un nombre irrationnel qui contient un seul terme puisque Vm ne peut pas prendre la valeur de 3-V2

merci Galois94 d'accélérer le rythme du jeu et d'oser poster un tel exo ....
solution du problème:
posons avec k£Q:



donc √(6mn) est rationnel or √6 est irrationnel alors √(mn) est irrationnel
-----------------------------------------------------------------------------
on a :

avec n différent de 3




1)-premier cas:

2)-deuxième cas:

maintenant il est facile de déterminer m et n :
6=2x3 et 6=6x1
donc pour m=6 et n=1:
k=(√6+√2)/(1+√3)=√2--->irrationnel
pour m=1 et n=6:
k=(1+√2)/(√6+√3)=1/√3------->irrationnel
pour m=2 et n=3:
k=(√2+√2)/(√3+√3)=√2/√3------->irrationnel
pour m=3 et n=2 :
k=(√3+√2)/(√2+√3)=1--------> et enfin rationnel
donc les seules valeurs de m et n pour lesquelles k appartient à Q sont:
m=3 et n=2
(sauf erreur)