Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

M.Marjani a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Un problème de plus :
Problème :
Résoudre dans l'équation suivante :

Je vous attends )) j'espére que c'est juste.

Ta solution ne semble pas être parfaite.
Il te faut discuter pour cette équation plus de 6 cas.
Il existe une équation plus célèbre, la voici:
.
A laquelle on donne une solution un peu biarre.
Je présente dans mon prochain message une belle solution pour celle de Dijkschneier.
C'est une methode qu'un ami m'a appri il y deux semaines.

Dijkschneier a écrit:

Problème :
Résoudre dans l'équation suivante :

.
On a .
Donc .
Donc .
D'autre part, on a .
Donc .
Donc .
Donc .
De même on a .
Et ausi on a .
Revenons à notre équation:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Car est toujours positifs.
Donc .
CQFD.

Pour le premier:
On a z^2-4x=1 et y^2+6z=-17 et x^2+2y=2.
Soit en sommant: z^2-4x+y^2+6z+x^2+2y=1-17+2.
Donc z^2+6z+x^2-4x+y^2+2y=-14.
Donc z^2+6z+x^2-4x+y^2+2y+14=0.
Donc z^2+6z+9+x^2-4x+4+y^2+2y+1=0.
Donc (z+3)^2+(x-2)^2+(y+1)^2=0.
Donc (z+3)^2=0 et (x-2)^2=0 et (y+1)^2=0.
Donc z+3=0 et x-2=0 et y+1=0.
Donc z=-3 et x=2 et y=-1.
Est-ce difficile?

Pour le deuxième:
Posons .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
On a 3>1.
Donc V3>1.
Donc V3 -1>0.
Donc .
Donc .
Et on a 49>48.
Donc V49>V48.
Donc 7>4V3.
Donc 0>4V3 -7.
Donc .
Revenons à A:
On a .
Donc .
Et finalement .
Donc le nombre proposé est naturel.
Est-ce difficile?

Je vous propose ainsi ce problème, éspérant qu'il soit à la hauteur:
Soit x un réel non nul vérifiant x^2=4x-1.
Calculez x^3+x^2+x+1/x+1/x^2+1/x^3.
Bonne chance.
Celui ou celle qui répond poste un autre exercice.
P.S: c'est un exercice très facile.

nmo a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Problème :
Résoudre dans l'équation suivante :

.
On a .
Donc .
Donc .
D'autre part, on a .
Donc .
Donc .
Donc .
De même on a .
Et ausi on a .
Revenons à notre équation:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Car est toujours positifs.
Donc .
CQFD.

A part quelques modiques fautes sans teneur, l'idée est bien présente. Bien !
Ton autre problème dérivé se résout avec le même esprit. D'ailleurs, il semble que ce genre de problèmes peut facilement être généralisé.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Un problème de plus :
Problème :
Résoudre dans l'équation suivante :

Je vous attends )) j'espére que c'est juste.

Ta solution ne semble pas être parfaite.
Il te faut discuter pour cette équation plus de 6 cas.
Il existe une équation plus célèbre, la voici:

Slt nmo , oui ;il ya plusieurs methodes , mais il suffit de discuter sur Y>0 et Y<0 dans mon cas pour voir s'il y avait d'autres solutions sue |R.
T'as une belle methode ,le probléme qu'on a trouver les S différents!
dans ce cas x=2030 non ? et dans le probléme que tu m'as donné x=10.

Il ya une autre methode mais avec les outils mathématics de premiére.

Encore une fois personne ne répond, voici la solution:
On a x^2=4x-1.
Donc x^2+1=4x.
Donc (x^2+1)/x=4x/x.
Donc x^2/x + 1/x=4.
Donc x+1/x=4.==>(1)
Donc (x+1/x)^2=4^2.
Donc x^2+2x*1/x+1/x^2=16.
Donc x^2+2+1/x^2=16.
Donc x^2+1/x^2=14.==>(2)
En multipliant 1 et 2, on trouve (x^2+1/x^2)(x+1/x)=14*4.
Donc x^3+x+1/x+1/x^3=56.
Donc, par addition de 1, on trouve x^3+x+1/x+1/x^3+x+1/x=56+14.
Donc x^3+x^2+x+1/x+1/x^2+1/x^3=70.
C'était facile.

Même s'il est facile, voici mon exercice:
ABC triangle avec des angles aigus, h est son hauteur passant par A, posons a=BC et AC=b et c=AB.
Prouver que:
Bonne chance.

nmo a écrit:

nmo.[/b]

Dsl , j'avais 4 devoirs cette semaine donc j'avais trop peu de temps, c'est pourquoi j'arrive pas à vous partager ici.

nmo a écrit:

ABC triangle avec des angles aigus, h est son hauteur passant par A, posons a=BC et AC=b et c=AB.
Prouver que:
[b]b]

soit H le projeté orthogonal de A sur [BC]
(BH-CH)²>=0
BH²+CH²-2BH*CH>=0
2BH²+2CH²-(BH+CH)²>=0
2BH²+2CH²-a²>=0
Donc : BH²=c²-h² CH²=b²-h²
Don't le résultat.

problème proposé:
soient a b et c des réels distincts.
montrer que:

M.Marjani a écrit:

problème proposé:
soient a b et c des réels distincts.
montrer que:

Tout d'abord, posons m=b/a et n=c/b et p=a/c.
On a mnp=b/a*c/b*a/c.
Donc mnp=1.
Donc b=am et c=bn et a=cp.
On veut démontrer que .
C'est à dire .
C'est à dire .
C'est à dire .
On pose 1-m=x et 1-n=y et 1-p=z.
Donc m=1-x et n=1-y et p=1-z.
Et on a mnp=1.
Donc (1-x)(1-y)(1-z)=1.
Donc (1-y-x+xy)(1-z)=1.
Donc 1-z-y+yz-x+xz+xy-xyz=1.
Donc xy+zx+zy=x+y+z+xyz.
Donc (xy+zx+zy)^2=(x+y+z+xyz)^2.
Donc (xy)^2+(zx)^2+(zy)^2+2xy*zx+2xy*zy+2zx*zy=(x+y+z)^2+(xyz)^2+2xyz(x+y+z).
Donc (xy)^2+(zx)^2+(zy)^2+2x*yzx+2xyz*y+2zxy*z=(x+y+z)^2+(xyz)^2+2xyz(x+y+z).
Donc (xy)^2+(zx)^2+(zy)^2+2xyz(x+y+z)=(x+y+z)^2+(xyz)^2+2xyz(x+y+z).
Donc (xy)^2+(zx)^2+(zy)^2=(x+y+z)^2+(xyz)^2.
Donc (xy)^2+(zx)^2+(zy)^2-(xyz)^2=(x+y+z)^2.
D'autre part, on a 0=<(x+y+z)^2.
Donc 0=<(xy)^2+(zx)^2+(zy)^2-(xyz)^2.
Donc (xyz)^2=<(xy)^2+(zx)^2+(zy)^2.
En divisant par (xyz)^2 on obtient 1=<(1/x)^2+(1/y)^2+(1/z)^2.
Donc .
Donc .
CQFD.
Sauf faute de frappe.

Problèmes propposés:
Résolvez en IR les deux équation suivantes:
.
.
Bonne chance.
P.S: les deux équations sont indépendantes.

Pour le 2éme on a 0<x<144
Et :
Le 1er possibilité don x=9 la 2éme n'admet pas de solution positif .
Ps: Pour la 2éme on pose X=V(12-Vx)

bien.

Pour la première :

Sauf erreur !

Deux autres, tant qu'on y est :
Problème 1 :
Résoudre dans [0;] l'inéquation : .
Problème 2 :
Soit ABC un triangle. a,b et c sont ses longueurs de côté, et alpha, bêta et gamma ses angles respectifs.
Montrez que : .

La factorisation est un peu magik ^^ sinon voici une autre solution pour l'équation :
On fixe y=1/x on se ramène à :

Pour équilibrer ( avoir une équation de 2éme degré) on pose z=y-1/2
Ca donne :

encore un changement de variable : a=z²>=0
ca donne :

La solution positif est a=5/4
Puis on trouve aisément les valeurs de x

mizmaz a écrit:

Pour la première :

Sauf erreur !

Bonne réponse mizmaz , une petite remarque S={(-1+V5)/2;1;(-1-V5)/2}

Car : Dans le premier on va trouver que : S={} et l'autre : S={(1+V5)/2;(-1-V5)/2} et l'autre : (x-1)²=0 <=> x=1 <=> S={1}

Donc : S={(1+V5)/2;(-1-V5)/2;1}
Bonne chance.

salut c'est tu veux écrire des formules de math voir ici
LaTeX

Sylphaen a écrit:

La factorisation est un peu magik ^^ sinon voici une autre solution pour l'équation :
On fixe y=1/x on se ramène à :

Pour équilibrer ( avoir une équation de 2éme degré) on pose z=y-1/2
Ca donne :

encore un changement de variable : a=z²>=0
ca donne :

La solution positif est a=5/4
Puis on trouve aisément les valeurs de x

Ouais. Magique, c'est le mot.

Sinon, M.Marjani, c'est une erreur assez grossière que tu viens de faire, là.
J'espère que tu as compris le truc.
Au plaisir !

Merci , j'ai compris : x-1=/ 0 <=> x=/1
Nous allons étudier ca je pense dans les fonctions .

Voici un exo pour vous :
MQ:

Sylphaen a écrit:

Voici un exo pour vous :
MQ:

On peut remarquer que :

= (1-(1/2))²(1+(1/2))(1-(1/6))...(1-(1/10000))
Et puis on simplifier.
( l'idée c'est 1÷(n(1+n))=(1÷n)-(1÷(n+1))


Autre methode :

On peut remarquer que :

= (1*9999)÷(2*4*8*12*...*10000)=<1/100

( L'idée c'est que tout entier qui s'écrit comme : 2x+1 et qui se trouve en numérateur il serait simplifier avec un entier qui se trouve au dénominateur , sauf 9999 on peut pas le simplifier avec un autre .. )
J'attend vos opinions de cette methode qui est plus courte et qui utilise que l'observation.