Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

Sinon , on peut remarquer que :
1/2·3/4·5/6· ... ·99/100 < 1/10
Il suffit donc de la prouver.
----------------------------------------------------------------------------
Posons : A = 1/2·3/4·5/6· ... ·99/100. et B = 2/3·4/5·6/7· ... ·98/99.

2/3 > 1/2, 4/5 > 3/4, ..., 98/99 > 97/98, 1 > 99/100.
à partir de ce dérnier on a : A < B. Donc : AB = 1/100 (1) ( en simplifiant en utilisant l'observation .. )

Alors : A2 < AB < 1/100, et on se retourne plus géneral :

1/2·3/4·5/6· ... ·(2n-1)/2n < 1/(2n), (2)
A(n) = 1/2·3/4·5/6· ... ·(2n-1)/2n,
B(n) = 2/3·4/5·6/7· ... ·(2n-2)/(2n-1).
A(n) < 1/(3n+1). (3)
ce qui donne : (3') A(n) < 1/(3n),

-------------------------------------------------------------

Et on a A(1) = 1/2 = 1/(3·1+1).
ce qui est faux avec 2
Car : A(2) = 1/2·3/4 = 3/8 < 1/7 = 1/(3·2+1),
Faisant le carré :
9/64 < 1/7,pour 7·9 = 63 < 64
Posons : n=k
(4) A(k) < 1/(3k+1).
Et on prouve que n=k+1
(5) A(k+1) < 1/(3(k+1)+1) = 1/(3k+4).
et parceque : A(k+1) = A(k)·(2k+1)/(2k+2), (4)
Il parait clairement que : (6) A(k+1) < (2k+1)/(2k+2)·1/(3k+1).
---------------------------------------------------------------------------
Et mtn on fait le carré du coté droit :
[(2k+1)/(2k+2)·1/(3k+1)]2 = (2k+1)2 / ((2k+2)2(3k+1))
= (2k+1)2 / (12k3 + 28k2 + 20k + 4)
= (2k+1)2 / [(12k3 + 28k2 + 19k + 4) + k]
= (2k+1)2 / [(2k+1)2(3k+4) + k]
< (2k+1)2 / [(2k+1)2(3k+4)]
= 1 / (3k+4),
Qui est exactement le coté droit de (5) et qui prouve (6)
Enfin , on peut finir et trouver clairement le résultat.

Dijkschneier a écrit:

Deux autres, tant qu'on y est :
Problème 2 :
Soit ABC un triangle. a,b et c sont ses longueurs de côté, et alpha, bêta et gamma ses angles respectifs.
Montrez que : .

On utilise la formule de Alkashi pour trouver que :

Donc calculez-moi :

EX 1:



EX2:
a+b+c=abc，M.Q：a(1-b²)(1-c²)+b(1-a²)(1-c²)+c(1-a²)(1-b²)=4abc.

Bonne chance.

M.Marjani a écrit:

Donc calculez-moi :



Bonne chance.

Sauf erreur

M.Marjani a écrit:

Donc calculez-moi :


EX2:
a+b+c=abc，M.Q：a(1-b²)(1-c²)+b(1-a²)(1-c²)+c(1-a²)(1-b²)=4abc.

Bonne chance.

Spoiler:

Sauf erreur.
Au plaisir !

mizmaz a écrit:

M.Marjani a écrit:

Donc calculez-moi :


EX2:
a+b+c=abc，M.Q：a(1-b²)(1-c²)+b(1-a²)(1-c²)+c(1-a²)(1-b²)=4abc.

Bonne chance.

Spoiler:

Sauf erreur.
Au plaisir !

C'est juste.
Mais j'ai pas compris la methode oO
+ j'ai dis (1-1/4) , t'as écris (1-1/2^3) et t'as trouvé le méme résultat oO
Vous pouvez m'expliquez ce truc.

M.Marjani a écrit:

mizmaz a écrit:

M.Marjani a écrit:

Donc calculez-moi :


EX2:
a+b+c=abc，M.Q：a(1-b²)(1-c²)+b(1-a²)(1-c²)+c(1-a²)(1-b²)=4abc.

Bonne chance.

Spoiler:

Sauf erreur.
Au plaisir !

C'est juste.
Mais j'ai pas compris la methode oO
+ j'ai dis (1-1/4) , t'as écris (1-1/2^3) et t'as trouvé le méme résultat oO
Vous pouvez m'expliquez ce truc.

Faute de frappe, excuse. ^^

M.Marjani a écrit:

Donc calculez-moi :


EX2:
a+b+c=abc，M.Q：a(1-b²)(1-c²)+b(1-a²)(1-c²)+c(1-a²)(1-b²)=4abc.

Bonne chance.

Spoiler:

Sauf erreur.
Au plaisir !

mizmaz a écrit:

M.Marjani a écrit:

Donc calculez-moi :


EX2:
a+b+c=abc，M.Q：a(1-b²)(1-c²)+b(1-a²)(1-c²)+c(1-a²)(1-b²)=4abc.

Bonne chance.

Spoiler:

Sauf erreur.
Au plaisir !

C'est juste , trés bien mizmaz.
Une petite remarque : pour démontrer une résultat, on parti d'une coté pour démontrer l'autre coté.

A vous de postez.

Okay.
Calculez :

Le truc continue jusqu'à l'infini.

On pose @=RAC(1+RAC(1+RAC(1+...
Donc @=RAC(1+@)
On élève au carré @²=1+@
Equivalent de @²-@-1=0
Delta, discriminant, égale (-1)²-4(1)(-1)=1+4=5
Racine du discriminant égale RAC(5)
Les deux solutions de cette équation sont
@1=-(-1)-RAC(5)sur2(1)=(1-V5)/2
@2=-(-1)+RAC(5)sur2(1)=(1+V5)/2
On élimine @1 qui est négatif, ce qui nous laisse le nombre d'or

Exact !
A toi.

Solve in iR:
8=x+V(14+Vx)

Voir que 4 est une racine évidente.

Sylphaen a écrit:

La factorisation est un peu magik ^^ sinon voici une autre solution pour l'équation :
On fixe y=1/x on se ramène à :

Pour équilibrer ( avoir une équation de 2éme degré) on pose z=y-1/2
Ca donne :

encore un changement de variable : a=z²>=0
ca donne :

La solution positif est a=5/4
Puis on trouve aisément les valeurs de x

Voici une solution plus simple:
On a .
On pose x=y+1.
Cette équation équivaut à .
Donc .
Donc .
Donc .
Maintenant, on pose t=y+1/y.
Cette équation équivaut de nouveau à .
Et finalement .
Et il ne reste que calculer le discriminent et remplacer pour trouver les valeurs de x.
P.S: les résultats en hauts sont justes.

Bonne idée nmo

mais il ya une petite faute que tu viens de faire :



Il faudrait faire (y-2)² à la place de y² ( voir au dénominateur )
+ dans la prochaine étape t'as fais (y-1)²=y²-2x+1
S'il est juste une éxplication , car tu sais plus que moi ce que t'as fait

On peut utiliser la dévision euclidienne , et on a 4 racine évidente , alors x-4=0 Donc => x=4 ... ( 0=<x=<196 )

C'est la seule résultat que je pense.

Dijkschneier a écrit:

Problème 1 :
Résoudre dans [0;] l'inéquation : .

Voici ma solution:
On a .
Premièrement, on doit poser: 2x=X.
Donc .
D'autre part, on sait que pour tout réel X, on a 1>=sin x>=-1.
Donc 2>=sin x +1>=0.
Donc le domaine de définition de cette équation est IR.
Donc V2>=V(sin x =1).==>(1)
Et on a 1>=cos x>=-1.
Donc V2>=V2*cos x>=-V2.==(2)
Et de 1 et 2, l'inéquation équivaut à .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
On pose: t=sin x.
L'inéquation devient .
Considérons le trinôme 2t^2+t-1.
Le discriminent de ce trinôme est 9. (1^2-4*2*(-1)=1+8=9)
Donc les solutions de l'équation 2t^2+t-1=0 sont les suivants: (pour diminuer les lignes de solutions)
et .
On factorise ce trinôme comme suit 2t^2+t-1=2(t+1)(t-1/2).
Soit 2t^2+t-1=(t+1)(2t-1).
On s'est arrété à .
Donc .
Donc .
Donc, en divisant par car il est positif d'après 1 .
Donc .
Donc .
Résolvons cette équation .
On a .
Et on sait que .
Donc .
Donc X=Pi/6 +2kPi ou X=Pi-Pi/6 +2kPi.
Donc X=Pi/6 +2kPi ou X=5Pi/6 +2kPi.
Et puisque X appartient à l'intervalle [0;2Pi].
Donc 0=<X=<2Pi.
Donc 0=<Pi/6 +2kPi=<2Pi ou 0=<5Pi/6 +2kPi=<2Pi.
Donc 0=<1/6 +2k=<2 ou 0=<5/6 +2k =<2.
Donc -1/6=<2k=<2-1/6 ou -5/6=<2k=<2-5/6.
Donc -1/6=<2k=<11/6 ou -5/6=<2k=<7/6.
Donc -1/12=<k=<11/12 ou -5/12=<k=<7/12.
Donc k=0 ou k=0.
On remplace k par sa valeur dans l'expression X=Pi/6 +2kPi.
Pour k=0, on trouve X=Pi/6.
On remplace k par sa valeur dans l'expression X=5Pi/6 +2kPi.
Pour k=0, on trouve X=5Pi/6.
Donc les deux solution dans [0;2Pi] sont Pi/6 et 5Pi/6.
Pour que il faut que X appartient à l'intervalle [Pi/6;5Pi/6].
Donc Pi/6=<X=<5Pi/6.
Donc Pi/6=<2x=<5Pi/6.
Donc Pi/12=<x=<5Pi/12.
Et finalement les solution de l'équation de départ est S=[Pi/12;5Pi/12].
Sauf faute de frappe.

M.Marjani a écrit:

Bonne idée nmo

mais il ya une petite faute que tu viens de faire :



Il faudrait faire (y-2)² à la place de y² ( voir au dénominateur )
+ dans la prochaine étape t'as fais (y-1)²=y²-2x+1
S'il est juste une éxplication , car tu sais plus que moi ce que t'as fait

Bonne remarque, il fallait poser x=y+1.
Merci pour la réponse.
C'est édité.

mizmaz a écrit:

M.Marjani a écrit:

Donc calculez-moi :

Bonne chance.

Spoiler:

Sauf erreur.
Au plaisir !

J'ai une autre methode du collège, la voici:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .

A vous de poser

nmo a écrit:

mizmaz a écrit:

M.Marjani a écrit:

Donc calculez-moi :

Bonne chance.

Spoiler:

Sauf erreur.
Au plaisir !

J'ai une autre methode du collège, la voici:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .

C'est ce que j'ai fait en gros. Je crois que vous n'avez pas compris ce que je voulais dire par "25!". On appelle ça la factorielle. Par exemple la factorielle de n : n!=1*2*3*...*(n-1)*n
Au plaisir !

Sylphaen a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Deux autres, tant qu'on y est :
Problème 2 :
Soit ABC un triangle. a,b et c sont ses longueurs de côté, et alpha, bêta et gamma ses angles respectifs.
Montrez que : .

On utilise la formule de Alkashi pour trouver que :

Je ne pense pas, voici ma methode:
Avant de commencer, pour que cela soit juste, il faut que soit juxtaposée au côté de longueur a, soit juxtaposée au côté de longueur b, soit juxtaposée au côté de longueur c.
Avec AB=c et AC=b et BC=a.
Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC].
On a dans le triangle AHB
.
Donc .
Donc .
Et on a dans le triangle AHC
.
Donc .
Donc .
D'autre part, on a .
Donc .==>(1)
De même .==>(2)
De même .==>(3)
Pour démontrer l'égalité proposée, on développe le côté droit:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
CQFD.
P.S: C'est le dernier exercice du cours de la trigonométrie.

Calculus a écrit:

Solve in iR:
8=x+V(14+Vx)

M.Marjani a écrit:

On peut utiliser la dévision euclidienne , et on a 4 racine évidente , alors x-4=0 Donc => x=4 ... ( 0=<x=<196 )
C'est la seule résultat que je pense.

Tu as commis une faute, le domaine de définition est [0;8].
On a 8=x+V(14+Vx).
Donc 8-x=V(14+Vx).
Donc (8-x)^2=[V(14+Vx)]^2.
Donc 64-16x+x^2=14+Vx.
Donc 64-16x+x^2=14+2-2+Vx.
Donc 64-16x+x^2=16+Vx -2.
Donc 16(4-x)+x^2-16+2-Vx=0.
Donc 16(2-Vx)(2+Vx)+(x-4)(x+4)+(2-Vx)=0.
Donc (2-Vx)[16(2+Vx)+1]+(x-V2)(x+V2)(x+4)=0.
Donc (2-Vx)[16(2+Vx)+1+(x+V2)(x+4)]=0.
Donc (2-Vx)[(2+Vx)(16+x+4)+1]=0.
Donc 2-Vx=0 ou (2+Vx)(16+x+4)+1=0.
On voit clairement que (2+Vx)(16+x+4)+1 ne peut jamais valoir 0.
Donc 2-Vx=0.
Donc 2=Vx.
Donc x=4.
Donc S={4}.