Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

nmo a écrit:

Calculus a écrit:

Solve in iR:
8=x+V(14+Vx)

M.Marjani a écrit:

On peut utiliser la dévision euclidienne , et on a 4 racine évidente , alors x-4=0 Donc => x=4 ... ( 0=<x=<196 )
C'est la seule résultat que je pense.

Tu as commis une faute, le domaine de définition est [0;8].
On a 8=x+V(14+Vx).
Donc 8-x=V(14+Vx).
Donc (8-x)^2=[V(14+Vx)]^2.
Donc 64-16x+x^2=14+Vx.
Donc 64-16x+x^2=14+2-2+Vx.
Donc 64-16x+x^2=16+Vx -2.
Donc 16(4-x)+x^2-16+2-Vx=0.
Donc 16(2-Vx)(2+Vx)+(x-4)(x+4)+(2-Vx)=0.
Donc (2-Vx)[16(2+Vx)+1]+(x-V2)(x+V2)(x+4)=0.
Donc (2-Vx)[16(2+Vx)+1+(x+V2)(x+4)]=0.
Donc (2-Vx)[(2+Vx)(16+x+4)+1]=0.
Donc 2-Vx=0 ou (2+Vx)(16+x+4)+1=0.
On voit clairement que (2+Vx)(16+x+4)+1 ne peut jamais valoir 0.
Donc 2-Vx=0.
Donc 2=Vx.
Donc x=4.
Donc S={4}.

Nous pouvons également considérer la fonction f telle que : .
Nous avons donc .
Étudions maintenant les variations de f sur son domaine de définition :


Et donc f est strictement croissante sur son domaine de définition. Delà nous pouvons affirmer que pour toute équation de la forme suivante : , il n'existe qu'une seule ou aucune solution. Remarquons donc que 4 est une solution évidente de l'équation et affirmons que c'est la seule et unique.
Finalement, .
Au plaisir !

[quote="nmo"]

Calculus a écrit:

Solve in iR:
8=x+V(14+Vx)

M.Marjani a écrit:

On peut utiliser la dévision euclidienne , et on a 4 racine évidente , alors x-4=0 Donc => x=4 ... ( 0=<x=<196 )
C'est la seule résultat que je pense.

Tu as commis une faute, le domaine de définition est [0;8].
quote]

oO, comment t'as eu [0,8] ? bon prend V2=V(V(V(x))) <=> x=16>V2 !

nmo a écrit:

Calculus a écrit:

Solve in iR:
8=x+V(14+Vx)

M.Marjani a écrit:

On peut utiliser la dévision euclidienne , et on a 4 racine évidente , alors x-4=0 Donc => x=4 ... ( 0=<x=<196 )
C'est la seule résultat que je pense.

Tu as commis une faute, le domaine de définition est [0;8].
quote]

oO, comment t'as eu [0,8] ? bon prend V2=V(V(V(x))) <=> x=16>V2 !

Il a eu [0,8] en posant
Et donc puisque :

Alors :
(*)
Et puisque nous avons une racine carrée écrite de la sorte :
Alors : (**)
De (*) et (**) nous déduisons que :
Au plaisir !

Excusez le double-post.
Tiens, on peut même aller plus loin et dire que puisque
Alors
Au plaisir !

Sylphaen a écrit:

Voici un exo pour vous :
MQ:

M.Marjani a écrit:

Sinon , on peut remarquer que :
1/2•3/4•5/6• ... •99/100 < 1/10
Il suffit donc de la prouver.
----------------------------------------------------------------------------
Posons : A = 1/2•3/4•5/6• ... •99/100. et B = 2/3•4/5•6/7• ... •98/99.
2/3 > 1/2, 4/5 > 3/4, ..., 98/99 > 97/98, 1 > 99/100.
à partir de ce dérnier on a : A < B. Donc : AB = 1/100 (1) ( en simplifiant en utilisant l'observation .. )
Alors : A2 < AB < 1/100, et on se retourne plus géneral :
1/2•3/4•5/6• ... •(2n-1)/2n < 1/(2n), (2)
A(n) = 1/2•3/4•5/6• ... •(2n-1)/2n,
B(n) = 2/3•4/5•6/7• ... •(2n-2)/(2n-1).
A(n) < 1/(3n+1). (3)
ce qui donne : (3') A(n) < 1/(3n),
-------------------------------------------------------------
Et on a A(1) = 1/2 = 1/(3•1+1).
ce qui est faux avec 2
Car : A(2) = 1/2•3/4 = 3/8 < 1/7 = 1/(3•2+1),
Faisant le carré :
9/64 < 1/7,pour 7•9 = 63 < 64
Posons : n=k
(4) A(k) < 1/(3k+1).
Et on prouve que n=k+1
(5) A(k+1) < 1/(3(k+1)+1) = 1/(3k+4).
et parceque : A(k+1) = A(k)•(2k+1)/(2k+2), (4)
Il parait clairement que : (6) A(k+1) < (2k+1)/(2k+2)•1/(3k+1).
---------------------------------------------------------------------------
Et mtn on fait le carré du coté droit :
[(2k+1)/(2k+2)•1/(3k+1)]2 = (2k+1)2 / ((2k+2)2(3k+1))
= (2k+1)2 / (12k3 + 28k2 + 20k + 4)
= (2k+1)2 / [(12k3 + 28k2 + 19k + 4) + k]
= (2k+1)2 / [(2k+1)2(3k+4) + k]
< (2k+1)2 / [(2k+1)2(3k+4)]
= 1 / (3k+4),
Qui est exactement le coté droit de (5) et qui prouve (6)
Enfin , on peut finir et trouver clairement le résultat.

Je n'arrive pas à comprendre ta methode genérale,donc je réponds:
Posons d'abord: A=1/2*3/4*5/6*...*9999/10000 et B=2/3*4/5*6/7*... *9998/9999.
On sait que 4>3 et 16>15 et ... et 99960004>99960003 .
Donc 2*2>3*1 et 4*4>3*5 et ... et 9998*9998>9999*9997.
Donc 2/3>1/2 et 4/5>3/4 et ... et 9998/9999>9999/10000 et 1>9999/10000.
Donc 1/2*3/4*5/6*...*9999/10000<2/3*4/5*6/7*... *9998/9999.
Donc A<B.
Donc A*A<B*A.
Donc A^2<1/2*3/4*5/6*...*9999/10000*2/3*4/5*6/7*... *9998/9999*1.
Donc A^2<1/10000.
Donc A^2<(1/100)^2.
Donc A<1/100.
Donc 1/2*3/4*5/6*...*9999/10000<1/100.
CQFD.
Sauf faute de calcul.

Les problèmes proposés:
1/Montrez que le produits de quatres nombres entiers consécutifs augmenté de 1 est un carré parfait.
2/p et q sont des entiers successifs.
Montrez que p^2+q^2+(pq)^2 est un carré parfait.
Bonne chance.

1/
Soit n un entier arbitraire, et soit A le produit de quatre nombres entiers consécutifs augmenté de 1.
A peut être noté , et donc, .
est entier, par construction de n, et de fait, est un carré parfait.

2/
Soit p un entier arbitraire.
q est le successeur de p, et par conséquent,.
Par suite, .
Laborieusement, la factorisation de ce polynôme peut être trouvée, et est .
étant entier, par construction de p, il s'ensuit que A est un carré parfait.

2/
par symetrie des roles , on peut prendre q=p+1

Que Dijkschneier poste un nouveau exercice.
Ses réponses sont justes.

RE

nmo a écrit:

Sylphaen a écrit:

Voici un exo pour vous :
MQ:

M.Marjani a écrit:

Sinon , on peut remarquer que :
1/2•3/4•5/6• ... •99/100 < 1/10
Il suffit donc de la prouver.
----------------------------------------------------------------------------
Posons : A = 1/2•3/4•5/6• ... •99/100. et B = 2/3•4/5•6/7• ... •98/99.
2/3 > 1/2, 4/5 > 3/4, ..., 98/99 > 97/98, 1 > 99/100.
à partir de ce dérnier on a : A < B. Donc : AB = 1/100 (1) ( en simplifiant en utilisant l'observation .. )
Alors : A2 < AB < 1/100, et on se retourne plus géneral :
1/2•3/4•5/6• ... •(2n-1)/2n < 1/(2n), (2)
A(n) = 1/2•3/4•5/6• ... •(2n-1)/2n,
B(n) = 2/3•4/5•6/7• ... •(2n-2)/(2n-1).
A(n) < 1/(3n+1). (3)
ce qui donne : (3') A(n) < 1/(3n),
-------------------------------------------------------------
Et on a A(1) = 1/2 = 1/(3•1+1).
ce qui est faux avec 2
Car : A(2) = 1/2•3/4 = 3/8 < 1/7 = 1/(3•2+1),
Faisant le carré :
9/64 < 1/7,pour 7•9 = 63 < 64
Posons : n=k
(4) A(k) < 1/(3k+1).
Et on prouve que n=k+1
(5) A(k+1) < 1/(3(k+1)+1) = 1/(3k+4).
et parceque : A(k+1) = A(k)•(2k+1)/(2k+2), (4)
Il parait clairement que : (6) A(k+1) < (2k+1)/(2k+2)•1/(3k+1).
---------------------------------------------------------------------------
Et mtn on fait le carré du coté droit :
[(2k+1)/(2k+2)•1/(3k+1)]2 = (2k+1)2 / ((2k+2)2(3k+1))
= (2k+1)2 / (12k3 + 28k2 + 20k + 4)
= (2k+1)2 / [(12k3 + 28k2 + 19k + 4) + k]
= (2k+1)2 / [(2k+1)2(3k+4) + k]
< (2k+1)2 / [(2k+1)2(3k+4)]
= 1 / (3k+4),
Qui est exactement le coté droit de (5) et qui prouve (6)
Enfin , on peut finir et trouver clairement le résultat.

Je n'arrive pas à comprendre ta methode genérale..

L'idée c'est prouvé que :
1/2•3/4•5/6• ... •99/100 < 1/10
Quand t-il sera prouvé on peut facilement trouvé une autre fois l'inégalité demandé. (j'ai fais trois methode la deuxiéme était trés facile, mais celle-çi est la plus compliqué éxcuse. ^^')

A vous Dijckacheiner.

Sylphaen a écrit:

Voici un exo pour vous :
MQ:

J'ajoute celui-ci:
Montrez que .
Bonne chance.

Je réponds moi-même:
Posons d'abord: A=1/2*3/4*5/6*...*9999/10000 et B=2/3*4/5*6/7*... *9998/9999.
Donc 2A=3/4*5/6*...*9999/10000 et B=2/3*4/5*6/7*... *9998/9999.
On sait que 9>8 et 25>24 et ... et 99980001>99980000.
Donc 3*3>4*2 et 5*5>6*4 et ... et 9999*9999>9998*10000.
Donc 3/4>2/3 et 5/6>4/5 et ... et 9999/10000>9998/9999.
Donc 3/4*5/6*...*9999/10000>2/3*4/5*6/7*... *9998/9999.
Donc 2A>B.
Donc 2A*A>B*A.
Donc 2A^2>1/2*3/4*5/6*...*9999/10000*2/3*4/5*6/7*... *9998/9999*1.
Donc 2A^2>1/10000.
Donc 2A^2>(1/100)^2.
Donc AV2>1/100.
Donc A>1/100V2.
Donc 1/2*3/4*5/6*...*9999/10000>1/100V2.
CQFD.
Sauf faute de calcul.

Je vous proposes les deux exercices suivants:
Le premier exercice:
Soient a, b, et c trois réels positifs.
Montrez que (bc+1)/a +(ab+1)/c +(ac+1)/b>=6.
Le deuxième exercice:
Soient D et D' deux droites du plan tel qu'ils se coupent en A.
On pose deux points E et F tels qu'ils n'appartiennent ni à (D), ni à (D').
Expliquer comment on peut déterminer M de (D) et N de (D') pour que le quadrilatère EFMN soit un paralléllipipède.
Bonne chance.

nmo a écrit:

Je vous proposes les deux exercices suivants:
Le premier exercice:
Soient a, b, et c trois réels.
Montrez que (bc+1)/a +(ab+1)/c +(ac+1)/b>=6.
Bonne chance.

Salut,
Par l'inégalité arithmético-géométrique, nous avons :

Spoiler:

Et donc l'inégalité est correcte.
Sauf erreur.
Au plaisir !

nmo a écrit:

Le deuxième exercice:
Soient D et D' deux droites du plan tel qu'ils se coupent en A.
On pose deux points E et F tels qu'ils n'appartiennent ni à (D), ni à (D').
Expliquer comment on peut déterminer M de (D) et N de (D') pour que le quadrilatère EFMN soit un paralléllipipède.
Bonne chance.

Nous pouvons aisément trouver l'angle formé par et à l'aide d'un rapporteur, nommons-le . De même pour l'angle formé par et , nommons-le . Nous avons clairement et puisque .
Nous avons également .
Nommons l'angle formé par et : .
Utilisons la règle (Si quelqu'un connait son nom, qu'il me le dise s'il vous plait) qui dit que : pour trouver et , et le tour est joué.
Sauf erreur.
J'ai, bien sûr, considéré (EF) et (D) sécantes, ainsi que (EF) et (D'). Le cas de (EF)//(D) et celui de (EF)//(D') étant faciles à traiter.
Au plaisir !
Edit : Je m'en suis rendu compte trop tard. En fait,

mizmaz a écrit:

nmo a écrit:

Le deuxième exercice:
Soient D et D' deux droites du plan tel qu'ils se coupent en A.
On pose deux points E et F tels qu'ils n'appartiennent ni à (D), ni à (D').
Expliquer comment on peut déterminer M de (D) et N de (D') pour que le quadrilatère EFMN soit un paralléllipipède.
Bonne chance.

Nous pouvons aisément trouver l'angle formé par et à l'aide d'un rapporteur, nommons-le . De même pour l'angle formé par et , nommons-le . Nous avons clairement et puisque .
Nous avons également .
Nommons l'angle formé par et : .
Utilisons la règle (Si quelqu'un connait son nom, qu'il me le dise s'il vous plait) qui dit que : pour trouver et , et le tour est joué.
Sauf erreur.
J'ai, bien sûr, considéré (EF) et (D) sécantes, ainsi que (EF) et (D'). Le cas de (EF)//(D) et celui de (EF)//(D') étant faciles à traiter.
Au plaisir !
Edit : Je m'en suis rendu compte trop tard. En fait,

J'ai oublié de mentionner qu'il ne faut utiliser que la regle et le compas.
Ta methode reste juste aver le rapporteur.
Pour l'autre essaie de démontrer sans théorème.

mizmaz a écrit:

nmo a écrit:

Je vous proposes les deux exercices suivants:
Le premier exercice:
Soient a, b, et c trois réels.
Montrez que (bc+1)/a +(ab+1)/c +(ac+1)/b>=6.
Bonne chance.

Salut,
Par l'inégalité arithmético-géométrique, nous avons :

Spoiler:

Et donc l'inégalité est correcte.
Sauf erreur.
Au plaisir !

Peux-tu m'ecrire le cas général de cette inégalité pour pouvoir tester est-ce qu'elle est juste ou fausse.
Je réponds sans théorème plus tard.

nmo a écrit:

mizmaz a écrit:

nmo a écrit:

Je vous proposes les deux exercices suivants:
Le premier exercice:
Soient a, b, et c trois réels.
Montrez que (bc+1)/a +(ab+1)/c +(ac+1)/b>=6.
Bonne chance.

Salut,
Par l'inégalité arithmético-géométrique, nous avons :

Spoiler:

Et donc l'inégalité est correcte.
Sauf erreur.
Au plaisir !

Peux-tu m'ecrire le cas général de cette inégalité pour pouvoir tester est-ce qu'elle est juste ou fausse.
Je réponds sans théorème plus tard.

Finalement, a,b et c doivent être strictement positifs. Sinon, a=b=c=-1 serait un joli contre exemple. Sinon, pour l'inégalité, google it.
Au plaisir !

mizmaz a écrit:

nmo a écrit:

mizmaz a écrit:

nmo a écrit:

Je vous proposes les deux exercices suivants:
Le premier exercice:
Soient a, b, et c trois réels.
Montrez que (bc+1)/a +(ab+1)/c +(ac+1)/b>=6.
Bonne chance.

Salut,
Par l'inégalité arithmético-géométrique, nous avons :

Spoiler:

Et donc l'inégalité est correcte.
Sauf erreur.
Au plaisir !

Peux-tu m'ecrire le cas général de cette inégalité pour pouvoir tester est-ce qu'elle est juste ou fausse.
Je réponds sans théorème plus tard.

Finalement, a,b et c doivent être strictement positifs. Sinon, a=b=c=-1 serait un joli contre exemple. Sinon, pour l'inégalité, google it.
Au plaisir !

J'ai oublié de mensionner qu'ils sont positifs.
Ta solution est juste.

(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+b-d)^2>=0(car les nombres ^2sont toujours positive)
a^2-2ac+c^2 + a^2-2ad+d^2 + b^2-2bc+c^2 + b^2-2bd+d^2>=0
donc
a^2+c^2+ a^2+d^2 + b^2+c^2+ b^2+d^2 >=2(ac+ad+bc+bd
donc
2(a^2+c^2+d^2+ b^2) >=2(ac+ad+bc+bd
so
(a^2+c^2+d^2+ b^2) >=ac+ad+bc+bd

et nous savons que :(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

donc : a^2+c^2+d^2+ b^2 >=(a+b)(c+d)

La solution sans théorème est ainsi:
On a (x-y)^2>=0 pour tout x et y positifs.
Et (x-z)^2>=0 pour tout x et z positifs.
Et (z-y)^2>=0 pour tout z et y positifs.
Donc, en sommant (x-y)^2+(x-z)^2+(z-y)^2>=0.
Donc x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+z^2-2zy+y^2>=0.
Donc 2x^2+2y^2+2z^2>=2xy+2xz+2zy.
Donc 2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+xz+zy).
Donc x^2+y^2+z^2>=xy+xz+zy.
On prend x=1/a et y=1/b et z=1/c.
Ainsi l'inégalité devient (1/a)^2+(1/b)^2+(1/c)^2>=(1/a)(1/b)+(1/b)(1/c)+(1/c)(1/a).
Donc 1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)>=1/(ab)+1/(bc)+1/(ac).
Donc, en multipliant par abc abc/(a^2)+abc/(b^2)+abc/(c^2)>=abc/(ab)+abc/(bc)+abc/(ac).
Donc bc/a+ac/b+ab/c>=c+b+a.
Donc bc/a+ac/b+ab/c+1/a+1/b+1/c>=a+b+c+1/a+1/b+1/c.
Donc (bc+1)/a+(ac+1)/b+(ab+c)/c>=a+b+c+1/a+1/b+1/c.==>(1)
D'autre part, on a (Vx-1/Vx)^2>=0 pour tout x positif.
Donc (Vx)^2-2*1/Vx*Vx+(1/Vx)^2>=0.
Donc x-2+1/x>=0.
Donc x+1/x>=2.
Avec x=a l'inégalité devient a+1/a>=2.
Avec x=b l'inégalité devient b+1/b>=2.
Avec x=c l'inégalité devient c+1/c>=2.
Donc, en sommant a+1/a+b+1/b+c+1/c>=2+2+2.
Donc a+b+c+1/a+1/b+1/c>=6.==>(2)
Et de 1 et 2, on conclut que (bc+1)/a+(ac+1)/b+(ab+c)/c>=6.
CQFD.

Pour le deuxième problème:
Après avoir placé E et F et (D) et (D'), on procède de la manière suivante:
On dessine (L) l'image de (D) par la translation de vecteur FE.
Les droites (L) et (D') se coupent en un point, notons le N.
Lorsqu'on dessine une droite parallèle à (EF) passant par N, elle coupe (D) en un point, notons le M.
Ainsi, on doit trouver que EFMN est un paralléllippipède.
P.S: c'est la methode du professeur.

Voici un exercice de défi:
Soit x un réel tel que 12<a<13.
Montrez que: .
Bonne chance.

Je vous propose ma propre solution pour le deuxième:
Après avoir placé E et F et (D) et (D'),on procède de la manière suivante:
Soit E' et F' les images respectifs de E et F par la symétrie cetrale de centre A.
La droite (EF') coupe (D') en N.
La droite (E'F) coupe (D) en M.
Ainsi, on doit trouver que EFMN est un paralléllippipède.
J'attends vos reclamations constructives.