Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

slt et merci pour ton exo sylphaen,je vas poser ma soltuion pour ton exo:
on a a³-3ab²=11 et b³-3a²b=2 <=>a^6 + 9a²b^4 - 6a^4b²=121 et b^6 +9b²a^4 - 6b^4a²=4
alors les deux donne une seul equation :
a^6 +9a²b^4-6a^4b² + b^6 +9b²a^ - 6b^4a²=125
<=> (a²+b²)^3 = 5^3
alors on distingue que a²+b² = 5
sauf erreur ....

Oui c vrai ..

Je me suis trompé de ton exercice sylphaen.
Mais la solution de master était juste.
Mon exercice est le suivant:
Problème1:
Trouvez tous les réels x et y tels que:
x^2+y^2+(x+y)-xy+1=0.
Problème2:
Même chose pour le système:
Vx+Vy=x+Vxy.
(x+y)^2=2(x-y)^2.
Problème3:
Même chose pour ce système:
x^2+x=2.
x^2+xy+y^2-y=0.
Bonne chance.
Et merci pour vos exercices.

x²+y²+(x+y)-xy+1=0<=>x²+x(1-y)+1+y²+y=0
delta=(1-y)²-4(1+y²+y)=-3(y+1)²=<0 alors pour que cette équation aie une solution il faut que :-3(y+1)²=0<=>y=-1 en remplaçant y par 1 on trouve que (x+1)²=0<=>x=-1
S={(-1,-1)}
------------------------------------------------------
Vx+Vy=x+Vxy
on remplaçe x=X² et y=Y² alors résoudre dans IR+²:
X+Y=X²+XY<=>X²+(Y-1)X-Y=0
delta=(Y-1)²+4Y=(Y+1)²
X=(1-Y+Y+1)/2=1 ou X=(1-Y-Y-1)/2=-Y(impossible)
alors X=1<=>x=1
en remplaçant x par 1 dans la deuxième équation on a :
(1+y)²=2(1-y)²<=>y²-6y+1=0
delta=32 alors y=3-2V2 ou y=3+2V2
S={(1,3-2V2),(1,3+2V2)}
---------------------------------------------------------------------
x²+x=2<=>x²+x-2=0
delta=3² alors x=1 ou x=-2
pour x=1 :
x²+xy+y²-y=0 devient: y²+1=0 ce qui est impossible
pour x=-2 :
x²+xy+y²-y=0 devient: y²-3y+4=0
delta<0
S={ ma localisation}
sauf erreur....

Salut
soit F' momatilate F par rapport a (D)donc NF=NF'
pour ke NF'+NE soit minimale il fait ke N;F';E appartiennt a la meme droite ...
donc N=ta9ato3 (D) wa (EF')
A+

Probleme proposé
soit ,a,b,c>0
et a²+b²+c²=3
MQ:
a²b+b²c+c²a=<2+abc
ENjoy

majdouline a écrit:

x²+y²+(x+y)-xy+1=0<=>x²+x(1-y)+1+y²+y=0
delta=(1-y)²-4(1+y²+y)=-3(y+1)²=<0 alors pour que cette équation aie une solution il faut que :-3(y+1)²=0<=>y=-1 en remplaçant y par 1 on trouve que (x+1)²=0<=>x=-1
S={(-1,-1)}
------------------------------------------------------
Vx+Vy=x+Vxy
on remplaçe x=X² et y=Y² alors résoudre dans IR+²:
X+Y=X²+XY<=>X²+(Y-1)X-Y=0
delta=(Y-1)²+4Y=(Y+1)²
X=(1-Y+Y+1)/2=1 ou X=(1-Y-Y-1)/2=-Y(impossible)
alors X=1<=>x=1
en remplaçant x par 1 dans la deuxième équation on a :
(1+y)²=2(1-y)²<=>y²-6y+1=0
delta=32 alors y=3-2V2 ou y=3+2V2
S={(1,3-2V2),(1,3+2V2)}
---------------------------------------------------------------------
x²+x=2<=>x²+x-2=0
delta=3² alors x=1 ou x=-2
pour x=1 :
x²+xy+y²-y=0 devient: y²+1=0 ce qui est impossible
pour x=-2 :
x²+xy+y²-y=0 devient: y²-3y+4=0
delta<0
S={ ma localisation}
sauf erreur....

Ces sonts toutes justes mais j'ai d'autres méthodes, les voici:
1/
On a x²+y²+(x+y)-xy+1=0
Donc x²+y²+2xy+(x+y)-3xy+1=0.
Donc (x+y)²+4(x+y)-3(x+y)-3xy+4-3=0.
Donc (x+y)²+4(x+y)+4-3(x+y)-3xy-3=0.
Donc (x+y+2)²-3(x+y+xy+1)=0.
Donc (x+1+y+1)²-3(x+1)(y+1)=0.
Donc (x+1)²+2(x+1)(y+1)+(y+1)²-3(x+1)(y+1)=0.
Donc (x+1)²+(y+1)²-(x+1)(y+1)=0.
Donc 2(x+1)²+2(y+1)²-2(x+1)(y+1)=0.
Donc (x+1-y-1)²+(x+1)²+(y+1)²=0.
Donc (x-y)²+(x+1)²+(y+1)²=0.
Donc (x-y)²=0 et (x+1)²=0 et (y+1)²=0.
Donc x-y=0 et x+1=0 et y+1=0.
Donc x=y et x=-1 et y=-1.
Donc S={(-1,-1)}.
2/
Premièrement On a Vx+Vy=x+Vxy.
Donc Vx+Vy=Vx*Vx+Vxy.
Donc Vx+Vy=Vx(Vx+Vy).
Donc (Vx+Vy)-Vx(Vx+Vy)=0.
Donc (1-Vx)(Vx+Vy)=0.
Donc 1-Vx=0 ou Vx+Vy=0.
Donc 1=Vx ou Vx=0 et Vy=0.
Donc x=1 ou x=y=0.
Deuxièmement on remplace dans la deuxième équation:
(0+0)²=2(0-0)².
Ce qui est juste.
Et ensuite S1={(0,0)}.
Et on a (1+y)²=2(1-y)²
Donc y²-6y+1=0.
Le discriminent est 32.
Donc y=3-2V2 ou y=3+2V2.
Donc S2={(1,3-2V2),(1,3+2V2)}.
Donc S={(1,3-2V2),(1,3+2V2),(0,0)}.
(Tu as raté un couple)
3/
Même solution.
Merci pour la réponse.

Problème :
Soit P(x) un polynôme de degré 9, tel que pour tout , .
Calculez P(10).

un problem est deja proposé

houssam110 a écrit:

Probleme proposé
soit ,a,b,c>0
et a²+b²+c²=3
MQ:
a²b+b²c+c²a=<2+abc
ENjoy

Prend

ellé vré pour ces valeurs
...

houssam110 a écrit:

ellé vré pour ces valeurs
...

Pardon, j'ai mal érigé mes calculs.

houssam110 a écrit:

Probleme proposé
soit ,a,b,c>0
et a²+b²+c²=3
MQ:
a²b+b²c+c²a=<2+abc
ENjoy

Dijkschneier a écrit:

Problème :
Soit P(x) un polynôme de degré 10, tel que pour tout , .
Calculez P(10).

Ce sont des exercices que je n'arrive plus à les résoudre.
Pouvez-vous me doner un indice ou bien postez vos solutions.

Pour le 1er ilé difficile a present jlé po démontré
bon je donne une autre moin forte
a²+b²+c²=3
MQ : a²b+b²c+c²a=<a+b+c
comm sa vs pouvez continuer votre jeu
A+

solution du problème :
par Am-Gm on a:

wé c sa Majdouline
pour le TCéan ki ne connaissent pa AM-Gm
(a²+b²)/2 >=ab ==> (3a-c²a)/2>=a²b
de meme
(3a-b²a)/2>=a²c et (3b-a²b)/2>=b²c
avec la somme on trouve
a+b+c>=a²b+b²c+c²a
allé continuez votre beau jeu
A+

solution du problème:(sauf erreur)
on considère le polynôme Q tel que : Q(x)=(x+1).P(x)-x
puisque P(x) est de degrés 9 alors Q(x) est de degrés 10....
et on a
alors Q(1)=Q(2)=....=Q(9)=0
alors 0,1,2.....,9 sons tous des racines...alors on peut écrire Q(x) sous la forme:
Q(x)=a(x-1)(x-2)....(x-9) (avec a le coefficient de x¹⁰)
or Q(-1)=(-1+1).P(1)+1=1
et d'autre part on a : Q(-1)=a x (-1)x(-2)x(-3)x....x(-10)=ax2x3x....x10


et d'autre part on a :
Q(10)=11.P(10)-10<=>1=11P(10)-10<=>P(10)=1
P.S.pour plus généraliser le problème:
soit P(n) de degré n tel que ...pour tout :n∈{0,1,2,3,.....,n}:
calculer P(n+1)

Bravo majdouline !
Bien que ta généralisation soit pertinente, elle peut toujours être traitée avec le même esprit.
Une question supplétive serait maintenant de prouver l'existence et l'unicité du polynôme .

DELETED

houssam110 a écrit:

Salut !
je vois que l'unicité n'est pas evidente
si n#0
P(x) existe <==> P(n)=n/(n+1) =a_1.n^9+a_2.n^8+...+a_9.n+a_10 (pour tt 0<n=<9
<==>a_1.n^8+a_2.n^7+...+a_9+a_10/n=1/(1+n)
<==> P(n)+a_1.n^8+a_2.n^7+...+a_9+a_10/n=1
<==> a_1(n^9+n^8 )+a_2(n^8+n^7)+...+a_9(1+n)+a_10(1+1/n)=1
donc pour lexistence il suffit de prendre
a_1=a_2=...=a_10
ckyé ekvalent a a_1(n^9+2n^8+..+2n+2+1/n)=1
donc a_1 existe <==> a_2;...a_n existe
mais on peut prenre aussi
a_1=1/(10(n^8+n^9)); et a_2=1/(10(n^7+n^8 ))et...et a_9=1/(10(1+n)) et a_10=1/(10(1+1/n))
cki montre ke lunicité né pas evidente...
SAUF ERREUR!

je crois pas que cela est incorrect:
il suffit de prendre a1=a2=a3=...=a10
alors ça devient pour touT 0=<n=<9
a1(n⁹+n⁸+....+n+1)=n/(n+1)
pour n=0 on a : a1=0
pour n=1 on a : a1=1/20
===>a1=1 et a1=1/20 ???????????????????????????

je dirais que le polynôme P est unique je posterai une laide preuve après

wé je vois ma faute car yavé une relation entre a_1 et n donc lorske n change a_1 change ...j'essayeré de chercher encore...

L'unicité peut être très vite établie grâce aux formules de Viète.