Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

a, b, et c sont des nombres positifs tels que a<b+c
Montrez que a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c).
Bonne chance.

je pense k il ya comme cet exo ds dimadima 1 er sc math

Comme je n'ai pas ce dimadima je veux savoir la solution.
Merci d'avance.

y a la solution avec les fonctions(belle et courte)
tu considère la fonction x/(x+1) qui est croissante sur l'intervalle [0,+00[
on a a<b+c <=>a+1<b+c+1
alors en appliquant x/(x+1)
on aura:a/(1+a)<(b+c)/(1+b+c)=b/(1+b+c)+c/(1+b+c)<b/(1+b)+c/(1+c)
-------------------------------------------------------------------------
et puis la solution du calcul:(moche et ennuyeuse)
on sait que a<b+c<=>a+ac+ab<b+c+ac+ab<=>a+ac+ab+abc<b+c+ac+ab+2abc+2bc
<=>a(1+c+b+bc)<(b+c+2bc)(1+a)
<=>a(1+c)(1+b)<(b(c+1)+c(b+1))(1+a)
<=>a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c)

N'y a t il pas une solution du calcul plus belle que celle ci et sans utilisation de cette ligne: a+ac+ab+abc<b+c+ac+ab+2abc+2bc?
Merci pour la réponse.

en voici une autre...
on a : a<b+c<=>a+ab+ac<b+c+ab+ac<=>a(1+b+c)<(b+c)(1+a)
<=>a/(1+a)<(b+c)/(1+b+c)=b/(1+b+c)+c/(1+b+c)<b/(1+b)+c/(1+c)
P.S.c la même solution que celle des fonctions sauf que celle ci est avec du calcul...

Pour la première partie:
On a 0<1 donc x<x+1
Et $x<$x+1 et 2$x<$x+$x+1.
Ensuite 1/($x+$x+1)<1/2$x
Et on a 1/($x+$x+1)=$x+1-$x ==>en multipliant par المرافق
Donc $x+1-$x<1/2$x
Et finalement 2($x+1-$x)<1/$x.
Pour la deuxième partie:
On a -1<0 donc x-1<x
Et $x-1<$x et $x+$x-1<2$x.
Ensuite 1/2$x<1/($x+$x-1).
Et on a 1/($x+$x+1)=$x-$x-1 ==>en multipliant par la valeur conjuguée.
Donc 1/2$x<$x-$x-1
Et finalement 1/$x<2($x-$x-1).
Pour la déduction:
On a, pour tout réel x: 2($x+1-$x)<1/$x<2($x-$x-1).
On prend x=1, x=2, ....., et x=10^4
Pour x=1,
Donc 2($2-$1)<1/$1<2($1-$0) donc 2$2-2$1<1/$1<2$1-2$0.
Pour x=2,
Donc 2($3-$2)<1/$2<2($2-$1) donc 2$3-2$2<1/$2<2$2-2$1.
...............
Pour x=10^4,
Donc 2($10^4+1 - $10^4)<1/$10^4<2($10^4 - $10^4-1) donc 2$10^4+1 - 2$10^4<1/$10^4<2$10^4 - 2$10^4-1.
En sommant on trouve que 2$10^4+1 - 2*1<A<2$10^4 - 2*0.
Donc 2$10^4+1 - 2<A<2$10^4.
Et ensuite 2$10^4+1 - 2<A<2*10^2.
Et puisque 10^2<2$10^4+1 - 2.==>calculatrice.
Donc 10^2<A<2*10^2.
j'attends la confirmation.

Pour l'exercice de naplhitl
On a x appartient à l'intervalle ouvert 1,2
Je démontre que -3<2x^2-3x-2<0.
On a 1<x<2.
Donc 2<2x<4.
Ensuite -1<2x-3<1.
On multiplie cet encadrement par celui de x (je ne suis pas certain)
Alors -2<2x^2-3x<2.
Finalement -4<2x^2-3x-2<0.
Sauf erreur.

majdouline a écrit:

y a la solution avec les fonctions(belle et courte)
tu considère la fonction 1/(x+1) qui est croissante sur l'intervalle [0,+00[
on a a<b+c <=>a+1<b+c+1
alors en appliquant 1/(x+1)
on aura:a/(1+a)<(b+c)/(1+b+c)=b/(1+b+c)+c/(1+b+c)<b/(1+b)+c/(1+c)
-------------------------------------------------------------------------
et puis la solution du calcul:(moche et ennuyeuse)
on sait que a<b+c<=>a+ac+ab<b+c+ac+ab<=>a+ac+ab+abc<b+c+ac+ab+2abc+2bc
<=>a(1+c+b+bc)<(b+c+2bc)(1+a)
<=>a(1+c)(1+b)<(b(c+1)+c(b+1))(1+a)
<=>a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c)

XD la fonction 1/(x+1) est croissante dans ; ta faut sur toute la ligne cette fonction est décroissante sur R .... Donc TA DémO est fausse !!

voila la reponse:

On a: a²+c²≥2ac et a²+d²≥2ad et b²+c²≥2bc et b²+d²≥2bd donc:
2(a²+b²+c²+d²)≥ 2(ac+ad+bc+bd)
Alors : a²+b²+c²+d²≥ac+ad+bc+bd

voila:

On a: a²+c²≥2ac et a²+d²≥2ad et b²+c²≥2bc et b²+d²≥2bd donc:
2(a²+b²+c²+d²)≥ 2(ac+ad+bc+bd)
Alors : a²+b²+c²+d²≥ac+ad+bc+bd

Une autre méthode:
On a 1<x<2.
Donc -1<x-2<0.
Donc 0<-(x-2)<1. ==>(1)
Et on a 1<x<2.
Donc 2<2x<4.
Donc 3<2x+1<5. ==>(2)
Et en multipliant 1 et 2 on aura 0<-(x-2)(2x+1)<5.
Donc -5<(x-2)(2x+1)<0.
Et -5<2x^2-3x-2<0.
Sauf erreur.

darkpseudo a écrit:

majdouline a écrit:

y a la solution avec les fonctions(belle et courte)
tu considère la fonction 1/(x+1) qui est croissante sur l'intervalle [0,+00[
on a a<b+c <=>a+1<b+c+1
alors en appliquant 1/(x+1)
on aura:a/(1+a)<(b+c)/(1+b+c)=b/(1+b+c)+c/(1+b+c)<b/(1+b)+c/(1+c)
-------------------------------------------------------------------------
et puis la solution du calcul:(moche et ennuyeuse)
on sait que a<b+c<=>a+ac+ab<b+c+ac+ab<=>a+ac+ab+abc<b+c+ac+ab+2abc+2bc
<=>a(1+c+b+bc)<(b+c+2bc)(1+a)
<=>a(1+c)(1+b)<(b(c+1)+c(b+1))(1+a)
<=>a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c)

XD la fonction 1/(x+1) est croissante dans ; ta faut sur toute la ligne cette fonction est décroissante sur R .... Donc TA DémO est fausse !!

on fait des erreurs de frappe mais on doit etre intelligent (pas intelligent mais au moins pas naif) pour les distinguer...je parle de la fonction x/(x+1)...et comme tu vois c édité ...et c'est ce que j'ai utlisé dans tout l'exo ....

merci

pour les informations

Bonjour,
On a d'après l'exercice de naplhitl:
x appartient à l'intervalle ouvert 1,2
montrez que
-3<2x^2-3x-2<0

et quand je vois les solutions proposées :

==>on a 1<x<2.
donc 2<2x<4.
ensuite -1<2x-3<1.
on multiplie cet encadrement par celui de x (je ne suis pas certain)
alors -2<2x^2-3x<2.
finalement -4<2x^2-3x-2<0

OU encore

une autre méthode
on a 1<x<2
donc -1<x-2<0
donc 0<-(x-2)<1 ==>(1)
et on a 1<x<2
donc 2<2x<4
donc 3<2x+1<5 ==>(2)
et en multipliant 1 et 2 on aura 0<-(x-2)(2x+1)<5
donc -5<(x-2)(2x+1)<0
et -5<2x^2-3x-2<0

Alors qu'il faut démontré que -3<2x^2-3x-2<0 pas de -4 ni -5

J'ai tenté le coup mais j'ai toujours pas trouvé:

On a x appartient à ]1,2[
Donc 1<x<2
D'où 1<x²<4
2>2x²>8

On a aussi 3<3x<6
Donc -6<-3x<-3

D'où -4<2x²-3x<5
Alors -6<2x²-3x-2<3
Mais c'est pas ce qui est demandé :s
De l'aide

on a 2<2x<4
donc -1<2x-3<1
et 1<x<2
alors -1<2x^2-3x<2
alors que -3<2x^2-3x-2<0

fmsi a écrit:

on a 2<2x<4
donc -1<2x-3<1
et 1<x<2
alors -1<2x^2-3x<2
alors que -3<2x^2-3x-2<0

Le juste est -2<2x^2-3x<2.
Ce qui mène à ma première démonstration.

Arrêtons de jouer.
Après un effort voici la solution juste:
On a 1<x<2.
Donc 0<x-1<1.==> (1)
Et on a 1<x<2.
Donc 2<2x<4.
Donc 1<2x-1<3.==> (2)
Multiplions (1) par (2) on trouve 0<(x-1)(2x-1)<3.
Donc 0<2x^2-x-2x+1<3.
Et ensuite 0<2x^2-3x+1<3.
Retranchons 3 de l'inégalité on trouve -3<2x^2-3x-2<0.
CQFD.

Euh nmo je ne vois toujours pas la faute de fmsi peux tu expliquer?

a²+b²+c²+d²>=2ab+2cd
a²+b²+c²+d²>=2ad+2bc

2(a²+b²+c²+d²)>=2(ab+cd+ad+bc)
a²+b²+c²+d²>=(a+b)(c+d)

C'est facile !

D'après l'exercice
On a 1<x<2
Et -1<2x-3<1
On a deux cas
Premièrement -1<2x-3<0.
Donc 0<-(2x-3)<1
Et lorsqu'on le multiplie par l'encadrement de x on trouve 0<-x(2x-3)<2.
Donc -2<x(2x-3)<0.==>(1)
Deuxièmement 0<2x-3<1.
Et lorsqu'on le multiplie par l'encadrement de x on trouve 0<x(2x-3)<2.==>(2)
De 1 et 2 on a -2<2x^2-3x<2.

Une petite information: المرافق en français est la valeur conjuguée.

Voici trois problèmes:
Problème 1:
Mon age est le double du tien.
Et quand ton age sera égal à mon age,
La somme de nos ages sera 90 ans.
Quel est mon age.
Problème 2:
Soit A un nombre de deux chiffres et B son inverse (ex A=12 B=21)
Sachant que la somme des deux chiffres est 14
Et B-A=36 quel est la valeur de A.
Problème 3:
Deux ouvrier le premier accomplit le travail en 3 heures et l'autres en 5 heures .
S'ils vont travailler tout les deux quelle sera la durée du travail.
(je n'ai pas résolu le troisième).
Bonne chance.

Bsr ^^
Pour la premiére on a :
x=2y et 2y+x+y=90
donc : y = 90/5
y = 18 et x = 36
Sauf erreur bien sûr ^^
Pour le deuxiéme :
A=59
Comment j'ai trouvé , il n'y a qu'une combinaison limité de deux chiffre en sachant que B>A donc A=59 ou 68 ou 77 et en utilisant la soustraction on trouve facilement A=59
Sauf erreur ^^
Pour le troisiéme :
celui la demande un peu d'imagination je trouve ^^ donc voila :
on sait que le premié fait le travail en 3 heures donc :
en 1heure il fait 1/3 du travail
et le deuxiéme fait le travail en 5 h donc
en 1heure il fait 1/5 du travail
maintenant si il travail ensemble en aura un nombre x de heures
tel que x/3+x/5 = 1
en d'autre terme prenons le travai comme un carré qu'il doivent colorié on découpera le carré en 3 parti égal et en 5 autres parti égal le carré est egal a 1 ; sachant que le premier colori le tier du carré en 1 heure et l'autre colori le cinquiéme du carré en 1 heure et le carré est de surface 1 on arrive facilement a la déduction :
x/3+x/5 = 1 et x=1.875 ^^
pourvu que se soi just ^^