Olympiodiose

solution du problème(sauf erreur):

<=>

si x=y et (x²+y²-4)²(xy-1)²=0 =>(2x²-4)²(x²-1)²=0
<=>2x²-4=0 ou x²=1<=>x=y=V2 ou x=y=-V2ou x=y=1 ou x=y=-1
d'où les couples suivants de solutions: (V2,V2);(-V2,-V2);(1,1);(-1,-1) (1)
------------------------------------------------------------------------------------
si x=-y et (x²+y²-4)²(xy-1)²=0=>(2x²-4)²(-x²-1)²=0
<=>2x²-4=0 ou x²+1=0(impossible) alors 2x²-4=0 d'où x=V2et y=-V2 ou x=-V2 et y=V2 d'où les deux couples des solutions: (V2,-V2);(-V2,V2) (2)
--------------------------------------------------------------------
de (1) et (2) on a : S={(V2,V2);(-V2,-V2);(1,1);(-1,-1);(V2,-V2);(-V2,V2)}

On attent ton exo

oui majdouline poste ton exo

Problème proposé:
Soient x,y et z des réels tels que (x+y)(y+z)(z+x)=xyz
et que :(x³+y³)(y³+z³)(z³+x³)=x³y³z³
calculer xyz
Enjoy

On :


Et on sait que :
Si x,y ne sont pas tous les deux négative et |x|>=|y|
Et le contraire si l'un d'eux est négative .
De même pour le reste ..

Alors on aura :

ou


Cas d'égalité seulement si :

xy(x+y) =xz(x+z)=yz(y+z)=0

[ x=0 ou y=0 ou y=-x ] Et [ x=0 ou z=0 ou z=-x ] Et [ y=0 ou z=0 ou z=-y ]

Alors au moins l'un d'eux est égal à 0 .

Donc :

xyz = 0 .


Voilà, Puisque je suis une machine à erreur ^^ j'attends une confirmation

Re

je pense que ta solution n'est pas correcte car x ,y, z des réés

prend x = -1 et y =-1

-8 superieur à -2 ce qui est faux

donc on peux pas dire que (x+y)^3 sup ou égal à x^3+y^3

Oué je l'avais édité ..

Ca si x,y ne sont pas les 2 négative . ou bien c'est |x|>=|y| et x>0>y

Je sais c'est faux lol ^^

J'refais >.<

Puis reste étudié le cas ou les deux sont négative ..

Je fais ce cas ^^

Re

et si x est negative et y est positive ..

et tu ne peux pas etudier seulement le cas de x et y , tu a oublié le z..

Oui .. je pense que ca devrait être une disjonction de cas ..
Mais ca serait long >.<

Je vais penser à autre chose ..
En tous cas je pense que ca va donner le même résultat c'est que :
xy(x+y)=xz(x+z)=yz(y+z) mais reste à le prouver ..

Bon si on part du 1er résultat on aura :

(x+y)²(y+z)²(x+z)²=(x²-xy+y²)(x²-xz+z²)(y²-yz+z²)

(x+y)² >= 4xy
Donc :

(x+y)²(y+z)²(x+z)² >= 4^(3) (xyz)^(2)

car (x+y)²(y+z)²(x+z)² >= 0


Alors on aura :

(x²-xy+y²)(x²-xz+z²)(y²-yz+z²) >= 64(xyz)^(2)
et : (x²-xy+y²)(x²-xz+z²)(y²-yz+z²) >=0
Supposons que : x#-y et x#-z et y#-z

Alors on aura :





(xyz)²=0

Et on supposant le contraire on aura : x=-y ou x=-z ou y=-z

alors (x+y)(x+z)(y+z)=0=xyz

On espérons de ne pas faire une autre faute :p

de retour. (j'ai passé ce matin le deuxieme controle et d'habitude mal passé ).
pour ce exercice j'ai trouve xyz=0 ou xyz=1.
(x3+y3)(y3+z3)(z3+x3)=xyz(x²+y²-xy)(y²+z²-yz)(x²+z²-xz).
si xyz(x²+y²-xy)(y²+z²-yz)(x²+z²-xz)=0 ==> xyz=0
si xyz(x²+y²-xy)(y²+z²-yz)(x²+z²-xz)#0
on a x²+y²-xy)(y²+z²-yz)(x²+z²-xz)=(xyz)²
on sait que ( x²+y²-xy)(y²+z²-yz)(x²+z²-xz)>= (xyz)².
=> x=y=z on remplacant dans la premiere equation 2xyz=xyz contradition .
donc xyz=0

Faux :

(x^(3)+y^(3) ) = (x+y)(x²+y²-xy)

Pas ce que t'a écris ^^

(x+y)(y+z)(x+z)=xyz

Ah ok ^^
Mais pour le xyz=1
j'aimerais bien que tu me propose des x,y,z ou les 2équations sont vérifiés et que xyz=1

c pas important de la calculer .
mais comme meme j me suis trompé xyz=1 ne verifie pas .
donc xyz=0

marouan777 a écrit:

de retour. (j'ai passé ce matin le deuxieme controle et d'habitude mal passé ).
pour ce exercice j'ai trouve xyz=0 ou xyz=1.
(x3+y3)(y3+z3)(z3+x3)=xyz(x²+y²-xy)(y²+z²-yz)(x²+z²-xz).
si xyz(x²+y²-xy)(y²+z²-yz)(x²+z²-xz)=0 ==> xyz=0
si xyz(x²+y²-xy)(y²+z²-yz)(x²+z²-xz)#0
on a x²+y²-xy)(y²+z²-yz)(x²+z²-xz)=(xyz)²
on sait que ( x²+y²-xy)(y²+z²-yz)(x²+z²-xz)>= (xyz)².
=> x=y=z on remplacant dans la premiere equation 2xyz=xyz contradition .
donc xyz=0

L'inégalité en rouge est juste seulement quand x,y,z sont positive

Bon je pense que la mienne est correcte donc je pose un exo :p

Soit a,b,c>0
MQ:

Voila ma solution :
on a : (x3+y3)(y3+z3)(z3+x3)= (x+y)3(y+z)3(z+x)3=(xyz)3

dans le cas ou x et y et z sont égal a 0 on aura
0=0 ce qui est juste .

donc dans le cas ou x ou y ou z sont différents de 0 :

c'est faut parce que : P est juste donc non P est fausse

on en conclu que xyz = 0

Sauf erreur bien sûr !!

oui c vrai mais je peux dire que (x²+y²-xy)>= (la valeur absolu de xy) comme ça l'inégalité est juste n'est ce pas ??

Il y'a une erreur ..

Prend x=-y=1 et z=0

Salut :!!
pour cele de VS avez commis des fautes
POur Marouane
pour éliminer (xyz)^3
t a fé (xyz).1/xyz et tu trouve xyz =0 ckyé pas logique !!
pour darkpseudo c une grande faute :!!
don le cas ou x et y ou z sont différents de 0
on ici ou donc u n nombre peut égaler 0 donc xyz peut égaler 0
don 7P né po fausse !!
Bon Jeu !! et bOn olympiade pour les particiapants demain !!

c'est juste une faut d'innatention dans tout les cas ou trouvera xyz=0 c'est ce pas ??

j'interviens donc ici pour dire qu'aucune solution n'est acceptable(comme a confirmé houssam)....cherchez encore !!!

je demande le faute dans ma solution .
pour houssam j'ai separé les cas avant d'avancer .