Le marathon des inégalités:

Bonsoiir..
Essayons avec cette inégalité:
Probleme 56 :
x,y,z des réels positifs tels que x+y+z=3
MQ:

Sporovitch a écrit:

Bonsoiir..
Essayons avec cette inégalité:
Probleme 56 :
x,y,z des réels positifs tels que x+y+z=3
MQ:

salut...
lemme :
on a pour tout réel positif :


--------------------------------------------------------------------------

Que chacun se sente libre de proposer un nouveau problème !

Ok!
Problème 57 (own) :
Soient a,b,c des réels positifs tels que ab+bc+ac=3
MQ:

sans perte de generalité supposons que D'aprés l'inégalité de Am-Gm on a


donc il suffit de Prouver que


Mais on a


donc il suffit de prouver que
ce qui equivaut à

2 ème solution : il suffit Mq que Or

Abdek_M a écrit:

sans perte de generalité supposons que D'aprés l'inégalité de Am-Gm on a


donc il suffit de Prouver que


Mais on a


donc il suffit de prouver que
ce qui equivaut à

2 ème solution : il suffit Mq que Or

Merci pour tes solutions Abdek et bon retour.
sinon j'ai beaucoup apprécié la 2eme solution car C'est vraiment magique Bravo!
je présente ma solution:
3ème solution :
Il suffira de montrer que :
:
cette inégalité est vraie car elle equivaut à:
:
ce qui est vrai.

Je propose :
soient a,b et c des réels strictement positifs , prouver l'inégalité suivante :

tarask a écrit:

Je propose :
soient a,b et c des réels strictement positifs , prouver l'inégalité suivante :

Puisque (a+b+2c)²>=4(a+c)(b+c)
Il suffira de montrer que :

ce qui est une identité.
car

Sporovitch a écrit:

Ok!
Problème 57 (own) :
Soient a,b,c des réels positifs tels que ab+bc+ac=3
MQ:

remarquer que l'inégalité est équivalente à :

Or d'après l'inégalité de Cauchy Schwartz et puisque abc=<1 on a :

d'autre part :

de ** et *** il suffit de montrer que :

ce qui est clairement vrai....

Sporovitch a écrit:

tarask a écrit:

Je propose :
soient a,b et c des réels strictement positifs , prouver l'inégalité suivante :

Puisque (a+b+2c)²>=4(a+c)(b+c)
Il suffira de montrer que :

ce qui est une identité.
car

Je confirme ! (désolé si je suis en retard , je croyais avoir confirmé .. )

je propose un autre problème:
Problème 59: (own)
Soient a,b,c>0 tels que abc=1 MQ:

l'inégalité est equivalente à




donc selon L'inégalité de Am-Gm


Or



ce qui achève la preuve

Je propose ce problème
Soient a,b et c des réels non négatifs tq ab+bc+ca>0 Montrez que :

salut abdelmalek je pense que cette inégalité se résout avec la méthode makuku!

salimt a écrit:

salut abdelmalek je pense que cette inégalité se résout avec la méthode makuku!

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh Mdrrrr application directe de Makuku

Makuku ?

Abdek_M a écrit:

Je propose ce problème
Soient a,b et c des réels non négatifs tq ab+bc+ca>0 Montrez que :

(SOS work)
Notons que :

on supposque que a²+b²+c²=1 l'inégalité sera équivalente donc à:

vu que 2(a²-bc)=(a-b)(a+c)+(a-c)(a+b) on devra donc montrer que :

ou encore :

en supposant que a>=b>=c on a S_c>=0 et S_b>=0
ou

Il restera donc a démontrer que
a²S_b+b²S_a>=0 ce qui est long mais facile a démontrer vu la supposition
désolé j'ai pas pu écrire ce terme la

Je porpose un problème similaire:
a,b,c>0 tels que a+b+c=3 MQ:

(own)

Sporovitch a écrit:

Je porpose un problème similaire:
a,b,c>0 tels que a+b+c=3 MQ:

(own)

bonsoir^^
lemme1:

Abdek_M a écrit:

Soient a,b et c des réels non négatifs tq ab+bc+ca>0 on a :

ainsi d'après l'inégalité de Cauchy Schwartz on a :

-----------------------------------------------------------------------
lemme 2:

Sporovitch a écrit:

a,b,c>0 on a :

-------------------------------------------------------------

l'inégalité à démontrer est équivalente à :


Or d'après lemme1 et lemme2 , il suffit de montrer que :

en utilisant l'inégalité de Cauchy Schwartz on trouve:

ainsi il suffit de montrer que :

ce qui est l'inégalité de Schur .....sauf erreur....
que chacun se sente libre de proposer un nouveau problème!

Je propose :
Montrer que pour tous réels strictement positifs a,b et c :

Bonne chance !

P.S: Donnez si possible une inégalité plus forte qu'elle

tarask a écrit:

Je propose :
Montrer que pour tous réels strictement positifs a,b et c :

Bonne chance !

P.S: Donnez si possible une inégalité plus forte qu'elle

NICE iNEQUALITY Tarask !!
D'abord Par le lemme Connu de Vasile CIRTOAJE :
Il suffira de montrer que :

ou encore :

ce qui est vrai
car en supposant que :
a>=b>=c on aura :

ce qui achève la preuve
Que chacun se sente libre prpose un nouveau problème !

celle ci est plus forte ;

Sinon en utilisant l'inégalité de Cauchy Shwarz l'inégalité que j'ai déja posté sera aussi plus forte:

Abdek_M a écrit:

celle ci est plus forte ;

Sinon en utilisant l'inégalité de Cauchy Shwarz l'inégalité que j'ai déja posté sera aussi plus forte:

je pense que ça peut etre prouvé de la meme manière
après avoir utilisé le lemme de VASILE IL suffira de montrer que :

est positif
Ou encore :

Il restera a vérifier sous la condition a>=b>=c :

Je poste ma solution , j'espère qu'elle vous interessera

D'après l'inégalité de Am-Gm on a







Donc en multiplyant l'inégalité par (a+b+c)²/ab+bc+ca il suffit de Prouver que



ou bien


ou



en supposant que il suffit de Prouver que

ou
ce qui est vrai puisque

ce qui est clairement vrai

Simple, ça.

Qui peux proposer une inégalité ?