| | Le marathon des inégalités: |  |
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Sporovitch
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mar 07 Sep 2010, 23:25 | |
| - Sylphaen a écrit:
- Solution du problème 45 :
- Spoiler:
Lemme : Soit x un réel positif alors on a :  Preuve :  Qui est juste par AM-GM .. En appliquant la lemme on obtient directement l'inégalité puisque : 
Niice j'avais la même idée à toi l'honneur! | |
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Sylphaen
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mar 07 Sep 2010, 23:55 | |
| Problème 46 : Soit a,b,c≥0 t.q a²+b²+c²+abc=4 .
Démontrer que :
2≥ab+ac+bc-abc≥0 | |
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majdouline
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 02:06 | |
| solution du problème 46:- Spoiler:
a,b,c≥0 tel que a²+b²+c²+abc=4 prouvons que : a²+b²+c²≥3 raisonnement par absurde , supposons que a²+b²+c²<3: par Am-Gm on a :  contradiction..... alors :  soit : a≥b≥c on a donc deux cas: 1) premier cas :
a,b≥1≥c : (a-1)(b-1) ≥0<=> ab+1 ≥a+b <=>abc+c ≥ac+bc==>abc+c+ab≥ab+bc+cail suffit donc de prouver que 2 ≥c+abor 4=a²+b²+c²+abc ≥2ab+c²+abc ===>2 ≥c+ab2)-deuxième cas:a ≥1 , 1≥b,calors (b-1)(c-1) ≥0<=> bc+1 ≥c+b <=>abc+a ≥ab+ac==>abc+a+ab ≥ab+bc+cail suffit de prouver que :2 ≥a+bc Or :4=a²+b²+c²+abc ≥2bc+a²+abc ===>2 ≥a+bc CQFD.... -------------------------------------------------------------------------------------- on a :  ---------------------------------------------------------------- on a donc ----------------------------------------------------------------------- .................
Dernière édition par majdouline le Mer 08 Sep 2010, 03:17, édité 2 fois | |
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darkpseudo
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 02:47 | |
| Heu : 4+4abc = a²+b²+c²+5abc  Et puis 9abc/a+b+c >=3abc et non pas le contraire , je pense qu'il te faut revoir la deuxième parti de ta démo | |
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Sporovitch
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 03:26 | |
| Ma solution pour le probleme 46: - Spoiler:
MOntrons que ab+bc+ac-abc>=0 si a,b,c>1 absurde alors on supposque que c = min{a,b,c} donc ab+bc+ac-abc>=bc+ac>=0 (c=<1) ------------------------------------------ Montrons que ab+bc+ac-abc=<2 a²+b²+c²+abc=4 ==> abc=<1 (AM-GM) on a (a-1)(b-1)>=0 <==> ab+1>=a+b==> ab+ac+bc-abc=<ab+c supposons que ab+c>2 <==> abc+c²>2c <==> 4>2c+a²+b²>=2ab+2c absurde CQFD !!
@ majdouline : - Spoiler:
je n'ai pas compris ton passage la : a²+b²+c²>=3 ==> abc=<1
Dernière édition par Sporovitch le Mer 08 Sep 2010, 03:36, édité 1 fois | |
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majdouline
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 03:34 | |
| - darkpseudo a écrit:
- Heu :
4+4abc = a²+b²+c²+5abc
Et puis 9abc/a+b+c >=3abc et non pas le contraire , je pense qu'il te faut revoir la deuxième parti de ta démo c'est corrigé ..... | |
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majdouline
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 03:46 | |
| - Sporovitch a écrit:
@ majdouline :
je n'ai pas compris ton passage la : a²+b²+c²>=3 ==> abc=<1 a²+b²+c² ≥3==>4-abc ≥3<=>1 ≥abc ............... - Sporovitch a écrit:
- Ma solution pour le probleme 46:
c = min{a,b,c}
on a (a-1)(b-1)>=0 pas forcément | |
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Sporovitch
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 03:46 | |
| bonsoiir !! la premiere partie n'est pas attachée à la 2eme !!  or il existe toujours 2 nombres qui sont soient tous les 2 >=1 ou soient tous les 2 =<1 CQFD | |
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majdouline
Expert sup
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 03:49 | |
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Sporovitch
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 03:53 | |
| bonsoir Pas Totalement mais C'est presque pareil A toi de proposer le prochain exercice PS:bon s7our | |
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majdouline
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 03:55 | |
| non à toi l'honneur!nouveau forumiste | |
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darkpseudo
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 04:12 | |
| - majdouline a écrit:
- solution du problème 46:
- Spoiler:
a,b,c≥0 tel que a²+b²+c²+abc=4 prouvons que : a²+b²+c²≥3 raisonnement par absurde , supposons que a²+b²+c²<3: par Am-Gm on a : contradiction..... alors : soit : a≥b≥c on a donc deux cas: 1) premier cas :
a,b≥1≥c : (a-1)(b-1) ≥0<=> ab+1 ≥a+b <=>abc+c ≥ac+bc==>abc+c+ab≥ab+bc+cail suffit donc de prouver que 2 ≥c+abor 4=a²+b²+c²+abc≥2ab+c²+abc ===>2≥c+ab2)-deuxième cas:a ≥1 , 1≥b,calors (b-1)(c-1) ≥0<=> bc+1 ≥c+b <=>abc+a ≥ab+ac==>abc+a+ab ≥ab+bc+cail suffit de prouver que :2 ≥a+bc Or : 4=a²+b²+c²+abc≥2bc+a²+abc ===>2≥a+bc CQFD.... -------------------------------------------------------------------------------------- on a : ---------------------------------------------------------------- on a donc ----------------------------------------------------------------------- .................
Tu pourrais m'expliquer ce qui est en rouge stp car je n'est pas compris ? | |
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Sporovitch
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 04:13 | |
| OK comme tu veux et Merci pour l'acceuil Probleme 47 : a,b,c>=0 MQ : 
Dernière édition par Sporovitch le Mer 08 Sep 2010, 04:38, édité 2 fois | |
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marouan777
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 04:17 | |
| @darkpseudo
4=a²+b²+c²+abc≥2ab+c²+abc<==> 4-2ab-c²-abc>=0 <==>(2+c)(2-c-ab)>=0 <==> 2>=c+ab | |
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darkpseudo
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 04:34 | |
| Heu merci marouan , et puis on attend monsieur Sporovitch ^^ | |
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majdouline
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 13:34 | |
| solution du problème 47:- Spoiler:
l'inégalité est équivalente à:  (développer +simplifier) \Leftrightarrow%20\sum%20a^3(b-c)^2\geq%200) ce qui est clairement vrai.....
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M.Marjani
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 14:04 | |
| Je veux posté ma solution du probléme 46: ( Autre raisonement )- Spoiler:
Pour le coté du droite:
Je propose cette petite idée pour MQ: ab+bc+ac =< 2+abc. Avec: a²+b²+c²+abc=4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
* On voit que si (a,b,c) £ ]0,1[ alors abc<1 et a²+b²+c²<3 donc a²+b²+c²+abc<4 --> Absurde.
D'ou abc £ {0}U[1, +00[ (1)
* Or abc=<1 et par (1) on aura donc: abc=0 ou abc=1
* Alors: a²+b²+c²+Max(abc)=<4 => a²+b²+c²=<3
* Et puisque a²+b²+c² >= ab+bc+ac donc ab+bc+ac =< 3 = 2+abc ( Dans le cas ou abc=1)
* Dans l'autre cas oû abc=0 on aura au moins un variable qui est nulle! Il suffit de prouver que bc=<2: On suppose que a=0 donc a²+b²+c²+abc=4 => b²+c²=4 , Et par IAG b²+c²>=2bc => bc=<4/2=2.
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darkpseudo
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 15:22 | |
| - M.Marjani a écrit:
- Je veux posté ma solution du probléme 46: ( Autre raisonement )
- Spoiler:
Pour le coté du droite:
Je propose cette petite idée pour MQ: ab+bc+ac =< 2+abc. Avec: a²+b²+c²+abc=4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
* On voit que si (a,b,c) £ ]0,1<1 et a²+b²+c²<3 donc a²+b²+c²+abc<4 --> Absurde.
[color=red]D'ou abc £ {0}U[1, +00[ (1)
* Or abc=<1 et par (1) on aura donc: abc=0 ou abc=1
* Alors: a²+b²+c²+Max(abc)=<4 => a²+b²+c²=<3
* Et puisque a²+b²+c² >= ab+bc+ac donc ab+bc+ac =< 3 = 2+abc ( Dans le cas ou abc=1)
* Dans l'autre cas oû abc=0 on aura au moins un variable qui est nulle! Il suffit de prouver que bc=<2: On suppose que a=0 donc a²+b²+c²+abc=4 => b²+c²=4 , Et par IAG b²+c²>=2bc => bc=<4/2=2.
Si on prouve que (a,b,c) n'appartient pas à cet intervalle ceci ne veux pas dire que ni a ni b ni c n'y appartiennent , en d'autre termes tu à utiliser le mot et , sa négation devient ou , amicalement ^^ | |
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darkpseudo
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 15:28 | |
| Solution du problème 47 : - Spoiler:
L'inégalité équivaut à : (a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2})\geq%20(a^{2}+b^{2}+c^{2})\prod%20(a+b)) Pour prouver qu'elle est juste , on developpe on simplifie , et pour le reste on applique Muirhead . Amicalement
Dernière édition par darkpseudo le Mer 08 Sep 2010, 16:06, édité 2 fois | |
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majdouline
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 15:48 | |
| - darkpseudo a écrit:
- Solution du problème 47 :
- Spoiler:
L'inégalité équivaut à : 
???????? faux ! | |
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darkpseudo
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 15:54 | |
| - majdouline a écrit:
- darkpseudo a écrit:
- Solution du problème 47 :
- Spoiler:
L'inégalité équivaut à :
????????
faux ! Je parle de Sigma cyclique ^^' , et puis de crier faux comme ça c'est pas très proffessionnel , tu pourrais préciser la faute car a ce que je vois mon équivalence est la même que la tienne | |
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majdouline
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 16:01 | |
| - darkpseudo a écrit:
- majdouline a écrit:
- darkpseudo a écrit:
- Solution du problème 47 :
- Spoiler:
L'inégalité équivaut à :
????????
faux !
Je parle de Sigma cyclique ^^' , et puis de crier faux comme ça c'est pas très professionnel , tu pourrais préciser la faute car a ce que je vois mon équivalence est la même que la tienne 1)-l'inégalité est équivalente à :  et crois moi..ce n'est vraiment pas ce que tu as écris ! et puis pour être vraiment professionnel! veuillez respecter les règles du jeu en postant une solution complète!!!!... | |
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darkpseudo
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 16:07 | |
| C'est corrigé , et puis merci de m'avoir signaler une faute de frappe -_-' ; à toi de poster | |
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majdouline
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M.Marjani
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: Mer 08 Sep 2010, 18:02 | |
| Solution 48:* On suppose \neq 0) D'une autre façon abcd>0 Pour chaque variable... Pour éviter le cas ou abcd=0 ... Ce cas est trivial à démontrer.. Il est prouvable façilement.. - Spoiler:
^3) De méme pour les autres, donc:  Alors il suffit de démontrer que: ^3+(a+b+d)^3 (a+c+d)^3+(b+c+d)^3\leq 1+176abcd) Puisque a+b+c+d=1 alors il suffit de démontrer que: ^3+(1-c)^3+(1-b)^3+(1-a)^3\leq 1+176abcd) +a^3+b^3+c^3+d^3+176abcd\geq 3(a^2+b^2+c^2+d^2+1)) ) * Ce qui est juste car ) CQFD...
PS: cette solution est fausse, IAG marche pas ^^
Dernière édition par M.Marjani le Mer 08 Sep 2010, 22:08, édité 6 fois | |
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| | Sujet: Re: Le marathon des inégalités: | |
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