Le marathon des inégalités:

on a :


Or , par Am-Gm on a :

et :
.....

Ce n'est pas bon d'utiliser les photos des gens.
Houssam Akhmouch il ne fallait pas mentir sur les gens, car les photos que tu as utilisé, sont d'une personne que je connais...
Merçi de supprimer ces photos, et ne pas parler de la geule d'un autre, car çelà va attirer que des problémes. ^^

Pour finir voiçi la personne: https://www.facebook.com/#!/profile.php?id=100001122161029

_{( 7chouma 3lik wlahila )}

Trés grave pour un futur mathématicien... A+ Houssam Akhmouch

Il y'a une petite erreur dans l'énoncé, c'est et non pas . Contre-exemple : a=b=2 et b=c=1.
Sinon en sachant que :

Et en sommant, et avec AM-GM :

Donc

La conclusion est évidente

L'inégalité de départ





AM-GM:

Ce qui est vrai par 2 AM-GM ...

D'ou le résultat en sommant.

on procède de la même manière que Oussama...
Multiplions par (abc+1) et ajoutons 3 , l'inégalité qu'on doit prouver devient donc :

oussama1305 a écrit:

On a :

Or par Am-Gm on a :


et en sommant ces deux inegos,on obtient facilement le résultat voulu...

Un simple changement de variable :
x=tanA ; y=tanB ; z=tanC avec A+B+C=pi et ces angles sont aigus.
L'inégalité équivaut alors à sum cyc cosA<3/2 ce qui est clairement vrai

soit a b et c les longueurs des cotés d'un triangle ,On note le rayon du cercle circonscrit au triangle et le rayon du cercle inscrit au triangle. on a
lemme 1:
lemme 2:
lemme 3:
lemme 4:
lemme 5 :

------------------------------------------------------------------------------
d'après l'inégalité de Hölder on a :

en utilisant lemmes 1 , 2 et 3:

ainsi il suffit de prouver que :

Or par lemme 4 , et lemme 5 on a :

Nice solution Majdouline
J'aimerais proposer une démonstration assez simple au premier lemme que tu as utilisé sans avoir recours à Al Kashi :
On a :
Et
Donc :


D'où :

Ainsi :

Sinon je posterai ma solution plutard pour cet exercice, donc tu peux poster ton exercice en attendant.

L'inégalité équivaut à:

on pose : ab+bc+ac=q et abc=r
on aura :
et on doit montrer que :
Cas 1 : q>=1
==>
et
DONC h(r) atteint son maximum quand r atteint son minimum et le min de r c'est 0 et dans ce cas q=1
Cas 2: 1/2=<q=<1
==> g'(q)=12q²-24r-2=2(6q²-12r-1)>=2(4q²-1)>=1 (q²>=6r)
donc :
or L'(r)=h'(r) le résultat en découle...
cas 3 :q=<1/2
q²>=6r ==> 24r=<1 on remplace cela dans l'inégalité de départ que trouve que c'est clairement vrai ...
CE qui finit le probleme
le cas d'égalité est atteind quand a=b=1 ,c=0 ou toutes les autres permutations cycliques !!

a²+b²>=2ab

ET C'est quoi donc AM-GM ?

C'est toi qui as dit que ce n'est pas AM-Gm alors je me demandé si c'était autre chose...

Lemme : Soit x un réel positif alors on a :

Preuve :

Qui est juste par AM-GM ..

En appliquant la lemme on obtient directement l'inégalité puisque :