Le marathon des inégalités:

mtb a écrit:

ok
probleme81:
on a a=xy et b=(1-x)y+(1-y)x et c=(1-x)(1-y) et 0=<x=<1 et aussi y
montrez que l'un des nombres a et b et c est plus grand que 4/9

4/9 nn pas 4/5

oui 4/9

Faute de frappe déjà éditée.

b=1/2>4/9 en cas de x=y=1/2

C'est juste un cas lol. Mais ce n'est pas une démonstration. Mtb tu es d'accord avec moi?

nn peux tu me donner un contre exemple??

mtb peux-tu affirmer la validité de ma réponse? si vous voulez partagez avec nous votre solution s'il est différente

lol moi aussi j'ai pas pu résoudre ce probleme.mais ce probleme est tirré d'un livre d'olampiad dont j'ai fais confiance.d'ailleurs moi aussi j'ai essayé de trouver un contre exemple mais j'ai pas trouver.en attendant que vous repondez a cette exerice je poste un autre plus facile mais cette fois je connais la reponse.
probleme 82:
x+y+z=xyz et xet y et z ne sont pas egaux a 1 et -1
on a A=x(1-y²)(1-z²)+y(1-z²)(1-x²)+z(1-x²)(1-y²)
montrez que A=4xyz

j'ai trouvé la solution

c'est bien pour probleme 81??

elle est un peu longue
alors SC désigne sigma cyclique
A=SC(x(1-y^2)(1-z^2))
=SC(x-xy^2-xz^2+x(yz)^2)
=x+y+z- xy^2 - xz^2 - yx^2 - xz^2 - zx^2 - zy^2+x(yz)^2+y(xz)^2+z(xy)^2
=xyz - xy(x+y) - xz(x+z) - yz(y+z)+xyz(yz+zx+xy)
=xyz(1+xy+xz+yz-(x+y)/z - (x+z)/y - (y+z)/x)
A=xyz(1+SC(xy - (x+y)/z))

on a xyz=x+y+z donc xy=(x+y)/z+1 ainsi xy - (x+y)/z=1 alors SC(xy - (x+y)/z)=3 d'ou découle le résultat
A=4xyz

nn, c pour le probléme 82

wé c'est juste.c'est la meme technique que j'ai utilisé.en attendant une réponse pour exercice 81. tu peux poster un exercice.

c bon pour le moment je te laisse dans l'espoir de te retrouver demain connecter ici et on nous apportons des nouveaux problèmes bien originaux comme ceux que vous venez de poster.A+,mon ami mtb
N.B: je suis a court d'exercice

ok a demain

En attendant qu'on trouve une solution pour le problème 81; je propose ce problème.
Problème 83:
Soit f une fonction définie par:

avec a;b;A;B des réels constants.
On suppose que pour tous réel x.
Prouvez que: et

Si il n'y a pas de réponses vous pouvez me l'indiquer pour que je poste la mienne.

ce n'est pas le cas mais la mienne demande beaucoup de calculs.
Vaut mieux que vous poster la sienne

mtb a écrit:

probleme81:
on a a=xy et b=(1-x)y+(1-y)x et c=(1-x)(1-y) et 0=<x=<1 et aussi y
montrez que l'un des nombres a et b et c est plus grand que 4/9

J'étais en train d'écrire une solution lorsque l'éléctricité fût coupée.
Je vous fait part d'une différente solution, qui utilise une démonstration par l'absurde:
Supposons que les trois nombres sont inférieurs à , disons: , et .
On a selon l'inégalité arithmético-géométrrique:
.
Et comme , il s'ensuit que:
.
D'autre part, on a donc .
Ou encore , et ainsi .
Mais puisque , il vient que .
D'où , ou bien , donc:
.
On a démontré que . (1)
On a aussi , c'est à dire que:
.
Et en tenant compte de (2), on trouve que .
Ce qui contredit l'hypothèse.
Ainsi, ce qu'on a suppposé est faux.
On en conclut que ou ou .
C'est à dire que l'un des nombres a, b ou c est supérieur à .
CQFD.
Sauf erreur.

merci nmo pour ta démo on avait vraiment besoin d'elle

Merci pour la solution nmo.

expert_run a écrit:

Problème 83:
Soit f une fonction définie par:

avec a;b;A;B des réels constants.
On suppose que pour tous réel x.
Prouvez que: et

Solution du problème 83:
on a :
On pose:
et
Donc
On note:
Alors
On a :
et

nmo tu peux proposer un exercice.

expert_run a écrit:

nmo tu peux proposer un exercice.

Voilà un:
Problème 84:
Démontrez que , pour tout entier naturel n non nul.
Bonne chance.

nmo a écrit:

Problème 84:
Démontrez que , pour tout entier naturel n non nul.
Bonne chance.

Solution du problème 84:
Soit u_n une suite définie par:
Pour k≥2 on a

Donc