Le marathon des inégalités:

En determinant tout les cas de a,b,c par rapport à 1 et 1/2 on peut montrer que :



Grace à AM-GM on conclu :



[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum%20\left%20(%20a+\frac{1}{b}-1%20\right%20)\left%20(%20b+\frac{1}{c}-1%20\right%20)\geq%203\sqrt[3]{\prod%20\left%20(%20a+\frac{1}{b}%20-1\right%20)^{2}}\geq%203[/img]

C'est facile comme inégalité :

J'ensen sur a^3+b^3+c^3 ensuite on étudie le cas où d >=15/4 et le cas ou d <15/4
et pi la flemme de tout rédiger , plus je pense qu'il faut songer à arreter le marathon vu que c'est la rentrée et qu'il n'y a presque personne pour jouer

cas 1: d>=15/4 il suffit de prouver que :
(*)
cas 2:
d=<15/4 et puisque d(1/27 -abc)>=0 donc d(1/27 -abc)=<15/4 (1/27 -abc)
donc il suffit de prouver (*)
PROUVONS DONC (*) pour tt a,b,c tel que a+b+c=1
on a :
donc * <==> 1+9abc>=4(ab+bc+ac) (ce qui est clairement vrai )
égalité lorsque a=b=c=1/3 et d=15/4

Tout d'abord une petite rectification :
ton inégalité devrais être :





Suffit d'essayer avec les valeurs 1/2 1/2 1/4 on verra que c'est juste
Ensuite puisque l'inégalité est homogène on suppose que a+b+c=1
par réordonnement on a :


Il nous suffit donc de montrer que :


(J'ai juste multiplier le 6 par ( a+b+c)^2 et puis j'ai simplifier ^^ )


cette inégalité est juste par réordonement ^^'
CQFD

Après développement, on en arrive à l'inégalité équivalente :
, équivalente à
Or selon l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il suffit donc de prouver que ce qui est équivalent à , qui est vraie.