Le marathon des inégalités:

La fonction est concave sur
D'après l'inégalité de Popoviciu :

Donc :

C'est un résultat qu'on peux démontrer aussi en utilisant l'inégalité de Jensen.
Ainsi :

D'où :

Car :

posons a=x+y , b=y+z et c=z+x
l'inégalité est équivalente à:

Or par l'inégalité de Cauchy Schwartz on a :

il suffit donc de prouver que :

ce qui est clairement vrai par Am-Gm...
et que :

ce qui est clairement vrai par Am-Gm...

Je propose une solution sans la transformation de Ravi :
On a :

Donc :




Et puisque :

L'inégalité à démontrer équivaut alors à :

On a déjà démontré dans l'exercice précédent que :

Donc :

Il suffit alors de démontrer que :


Ce qui est clairement vrai.

D'abord je crois que la vrai inégalité est :

ce qui equivaut a :

on pose ab+bc+ac=q et abc=r
l'inégalité équivaut a :f(q)= 2q^2+3qr-30q+3r+60>=0
or f'(q)=4q+3r-30<0
il s'ensuit que f(q) prend son min lorsque q prend son max
ce qui met fin à l'exercice puisque le max de q est atteint lorsque q=3 ==> r=1 CQFD
enfin sauf erreur

Multiplions par (abc+1), l'inégalité qu'on doit prouver devient donc :

On a :

Donc cela revient à prouver que :

Qui est une conséquence directe de l'inégalité arithmérico-géométrique.

Se fait directement pas des calculs de dérivée.
Je me limite à démontrer 1/.
- Montrons que x >= sin x.
Soit f(x) = x - sin x. On a f'(x)=1 - cos x >= 0. Donc f(x)>=f(0)=0, ce qui implique que x >= sin x
- Montrons que sin x >= x - x^3 / 6
Soit f(x) = sin x - x + x^3 / 6. On a f'(x) = cos x + x^2/2 - 1. On a f''(x) = - sin x + x >= 0. Donc f'(x)>=f'(0) = 0. Par conséquent, f(x) >= f(0) = 0. Cela implique que sin x >= x - x^3/6.
Inutile de préciser que les fonctions utilisées sont infiniment dérivables.

La 1/
Posons :
On a :
Donc f est croissante, et puisque x est positif, on a :

Et posons :

Donc :

Et :

g' est donc croissante, et x est positif, donc :

Maintenant, c'est g qui est croissante, ce qui donne :


Pour la 2/
L'inégalité de gauche est démontrée, g' étant supérieure à 0, maintenant posons :

Ce qui fait que :

h étant croissante, et x est positif, donc :

Conclusion: