Le marathon des inégalités:

on va montrer que

un peu d'aide Mr ''oty'' !!!

nmo a écrit:

expert_run a écrit:

Problème 133:[/b]
Si

Trouver la valeur maximale de n+k.
Bonne chance.

Je propose une solution:
On prends .
Il est connu que .
En reportant dans l'inégalité donnée, on aura .
Cette inégalité s'écrit encore .
Ainsi la valeur maximale de n+k est 8.
Sauf erreurs.

Désolé mais je pense qu'il y a des erreurs Mr. nmo car n+k doit atteindre son max en satisfaisant l'inégalité pour tout élément x de (R) sinon si on pose sin x = 1 et cos x = 0 la valeur de n+k n'affecte pas l'iné.
Merci

un peu d'aide Mr ''oty'' !! pour probleme 134

BTBICL a écrit:

nmo a écrit:

expert_run a écrit:

Problème 133:[/b]
Si

Trouver la valeur maximale de n+k.
Bonne chance.

Je propose une solution:
On prends .
Il est connu que .
En reportant dans l'inégalité donnée, on aura .
Cette inégalité s'écrit encore .
Ainsi la valeur maximale de n+k est 8.
Sauf erreurs.

Désolé mais je pense qu'il y a des erreurs Mr. nmo car n+k doit atteindre son max en satisfaisant l'inégalité pour tout élément x de (R) sinon si on pose sin x = 1 et cos x = 0 la valeur de n+k n'affecte pas l'iné.
Merci

Si, lorsque on aura bien ce qui est vrai si n+k=8.
Pour vrai dire, l'exercice n'est pas encore résolu. Cependant, la réponse que j'ai avancé est correcte!
J'ai déjà dit qu'il faut démontrer autre chose pour pouvoir terminer; je te cite mes paroles:

nmo a écrit:

aymas a écrit:

chose qui vienne de la convexite de la fonction x--x^8

Je pense que non, car on doit prouver que .
Si tu penses que tu as raison, j'attends que tu détailles.

Au plaisir!

ce que je voulais dire mn. nmo est que si x=0,(pi/2) on aura pour tout n+k de {N} la relation satisfaite et ainsi sera la valeur de n+k supérieur à 8.... En effet il n'y aura pas une tel valeur....sinon +(l'infini est la valeur qu'on cherche) ce qui est absurde....
Bref on doit chercher une valeur de n+k qui vérifie l'inégalité pour tout x de {R} mais pas pour des cas précis comme j'ai/tu as fait ....malgré tout 8 peut €tre la valeur recherché(par coincidence)
wa lah a3lam

nmo je pense que ce que tu as indique n'est pas vrai pour tout n de N si on prends n est impaire et on choisi x a fin que la quantiye cosx+sinx est negative l'inegalite devient inverse .
pour ma solution il me semble que j'ai commis des erreurs dans ma demonstration mais je vais essayer de poster une

younesmath2012 a écrit:

un peu d'aide Mr ''oty'' !!!

désolé Mr Younes pour le retard , ces derniers temps j'etais pas d'humeur a faire des recherches , je viens d'y retourner ce soir , cette inégalité est vraiment difficile , voici Ma solution :
considérant 2cas :
1cas ) a >=b>= c , notons que par AM-GM on a bien abc =< 1 .
d'ou il suffit de prouver que :

ce qui est vrai .
Maintenant si a >= c >=b => 1\(b+c) >= 1\(a+b) >= 1\(a+c)
d'ou par l'inégalité de Réarrangement :

notons que :

ainsi il suffit de montrer que :

puisque :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(a)=\frac{a}{b&plus;c}&plus;&space;\frac{bc&plus;3}{a^2&plus;3}&plus;&space;\frac{abc}{2}\leq&space;2&space;\Leftrightarrow&space;f'(a)=&space;\frac{bc}{(a^2&plus;3)^2}&space;[(a^2&plus;3)^2-4a]&plus;\frac{(a^2&plus;3)^2-2a(b&plus;c)}{(a^2&plus;3)^2(b&plus;c)}&space;\geq&space;0[/img]
car a >=1 et b+c =< 2 .
d'ou f est croissante d'ou il suffit de prouver l'inégalité pour deux variable égaux ce qui est clairement vrai , car puisque le membre de droite de l'inégalité (*) est égale a f(a) pour a=b , avec abc =< 1 ,
on a bien le membre de droite de l'inégalité (*) =< 2 . fin de la démonstration .

Oty a écrit:

abdelkrim-amine a écrit:

Problème :

Prouver que pour tous réels strictement positifs x,y,z :

ma solution pour cette inégalite : l'inégalité est homogène alors on assume : x+y+z=1 , Posant , par shur on a quelque soit a,b,c >=0 on a : a²+b²+c²+ (9abc)\(a+b+c) >= 2(ab+ac+bc) , On prend : a= 1\(x+y) , b=1\(y+z) .... on obtient : ou p=xy+yz+xz et r=xyz . ainsi d'ou il suffit de prouver que K >=9\4 , or ceci est equivalent a : 9r(5p+1)-27p²+7p >=0 , par shur avec x+y+z=1 , on a 9r >= 4p-1 d'ou il suffit de prouver que : equivalent a : 2 - (7p-3)² >=0 . ce qui est vrai car p=< 1\3 par AM-GM ...

vous avez ecrit d'ou il suffit de prouver que :

salut Mr ''oty'' j'ai fait vos calculs et j'ai trouvé ''une erreure'' je croit qu'il faut remplacer 27 par 29 donc la solution par votre methode ''jolie methode'' n'est pas terminé
pourrier vous la refaire ? merci d'avance
votre methode sera tres interressante et tres attirente!!! si vous pouver la refaire en corrigeant le 27 en 29!!!
merci!!!

x=V(ab)/(a+b) , y=V(bc)/(b+c) , z=V(ac)/(a+c)  ==> 0<x,y,z=<1/2 par IAG

l'inégalité <==> x²+y²+z²>=1/4+4xyz

abdelbaki.attioui a écrit:

Sujet: Re: Le marathon des inégalités:   Aujourd'hui à 14:37
x=V(ab)/(a+b) , y=V(bc)/(b+c) , z=V(ac)/(a+c)  ==> 0<x,y,z=<1/2 par IAG l'inégalité <==> x²+y²+z²>=1/4+4xyz

C'est faux Mr  abdelbaki.attioui si tu n'impose aucune relation entre x et y et z prend par exemple 
x=y=z=1/2 .
Remarque il fallut ecrire  1/4+4xyz >=x²+y²+z² 

younesmath2012 a écrit:

probleme 136:

Il faudra utiliser Le multiplicateur de Lagrange sur la fonction   pour avoir ce système : 


qui, après élimination de Lambda et après l'avoir résolu ( Résolu lorsque a=b=c=1 ) nous permet de stipuler que le min de F(x) est atteint quand a=b=c=1. C'est à dire que min(F(x))=0 .

Les multiplicateurs de Lagrange est un outil passe-partout, seulement je ne vois pas comment tu peux éliminer Lambda dans ce système d'équations....

radouane_BNE a écrit:

Les multiplicateurs de Lagrange est un outil passe-partout, seulement je ne vois pas comment tu peux éliminer Lambda dans ce système d'équations....

Il suffit de laisser Lambda seule dans les termes droits des trois équations, puis déduire l'égalité entre les termes gauches.

PS : Cette méthode ne marche pas toujours.

Excuses mon insistance mais je ne vois toujours pas comment on peut extraire cette valeur concrètement. Une solution détaillée sera la bienvenue.

PS: J'utilise en permanence le fait que (a+b)(b+c)(c+a)=8






Là, ou a=b ou alors a=/=b .
En supposant que a=/=b :



Le terme gauche peut être positif ou négatif( dépend de (c-racine(ab))), quand il est négatif, pas de problème. Quand on suppose qu'il peut être positif, on effectue les mêmes démarches pour l'autre équation, pour trouver une contradiction dans ce cas là.

Je ne suis pas sur que tes calculs vont mener à quelque chose...déjà le signe du terme à gauche ne dépend pas seulement (c-racine(ab)), mais de (c-racine(ab))(a+b)+8/(a+b) tout entier...tu m'excuses mais je reste inconvaincu de ta démarche...de ma part je me suis bien cassé la tête en vain pour résoudre cette bizaroide inégalité.

On peut remarque qu'on multipliant par deux et en ajoutant a^2+b^2+c^2 dans les deux côtés l'inégalité peut s'écrire comme :

sum_cyc a^2+2sqrt(a)\ge (a+b+c)^2

or :

a^2+2sqrt(a)\ge 3

donc si on parvient à montrer qu'avec la condition imposée sur a,b et c que :

3\ge (a+b+c)^2

on est nickel, mais je doute que ça soit vrai.

c'est faux Mr radouane_BNE
Vu que [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{(a&plus;b)&plus;(a&plus;c)&plus;(b&plus;c)}{3})\geq&space;\sqrt[3]{(a&plus;b)(a&plus;c)(b&plus;c)}&space;\Leftrightarrow&space;\sum&space;a&space;\geq&space;3[/img]
On tout cas il existe une solution plus simple.

a vous de proposer une autre inegalite

Bravo aymas, jolie solutions