<< Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >>

On a :3x+6y=18
Soit : x+2y=6
Soit : x+2y=2*1+2*2
Ainsi 1*(x-2)=2*(2-y)
Et comme 1 et 2 premiers entre eux,
Alors : x-2=2k et 2-y=1*k
x=2k+2 et y=2-k avec k de Z
D'où : S={k£ Z/2k+2;2-k)

On résous dans IN^3 l'équation: ab+ac+bc=2(a+b+c)

Par symétrie de rôles, on peut supposer que: c=<b=<a.

* si c=0, l'équation devient: ab=2(a+b) <=> ab-2a-2b=0 <=> a(b-2)-2b=0

<=> a(b-2)-(2b-4)=4 <=> a(b-2)-2(b-2)=4 <=> (a-2)(b-2)=4

On a: b=<a <=> b-2=<a-2 d'où (a-2=2 et b-2=2) ou (a-2=4 et b-2=1)

<=>(a=4 et b=4) ou (a=6 et b=3)

* si b=c=0, l'équation devient 2a=0 <=> a=0.

* Maintenant supposons que: 1=<c=<b=<a:

l'équation est équivalente à:

ab+ac+bc-2a-2b-2c=0
<=>(ab-a-b)+(ac-a-c)+(bc-b-c)=0
<=>(a(b-1)-b)+(a(c-1)-c)+(b(c-1)-c)=0
<=>(a(b-1)-b)+(a(c-1)-c)+(b(c-1)-c)+3=3
<=>(a(b-1)-b+1)+(a(c-1)-c+1)+(b(c-1)-c+1)=3
<=>(a(b-1)-(b-1))+(a(c-1)-(c-1))+(b(c-1)-(c-1))=3
<=>(a-1)(b-1)+(a-1)(c-1)+(b-1)(c-1)=3

Avec la condition de: 1=<c=<b=<a, on obtient: 0=<(b-1)(c-1)=<(a-1)(c-1)=<(a-1)(b-1)

Ainsi on a :

*3=0+0+3 => (a-1)(b-1)=3 et (a-1)(c-1)=0 et (b-1)(c-1)=0 => (a-1)(b-1)=3 et a=1 et c=1 et b=1=>Absurde (on remplace a=1 et b=1 dans (a-1)(b-1)=3 et on trouve la contradiction).

*3=0+1+2 => (a-1)(b-1)=2 et (a-1)(c-1)=1 et (b-1)(c-1)=0 =>(a-1)(b-1)=2 et (a-1)(c-1)=1 et b=1 et c=1 => Absurde (on remplace b=1 et c=1 dans (a-1)(b-1)=2 et (a-1)(c-1)=1 et on trouve la contradiction).

*3=1+1+1 => (a-1)(b-1)=1 et (a-1)(c-1)=1 et (b-1)(c-1)=1 => a-1=1 et b-1=1 et a-1=1 et c-1=1 et b-1=1 et c-1=1 => a=2 et b=2 et c=2



Synthèse:

Par conséquent: S={(4,4,0)/(0,4,4)/(4,0,4)/(6,3,0)/(3,6,0)/(0,6,3)/(0,3,6)/(3,0,6)/(6,0,3)/(2,2,2)}