Préparations aux olympiades du première (2011-2012)

Maître Nombre de messages : 117 Age : 29 Date d'inscription : 29/10/2011

Probléme 13:
On se donne deux réel strictement positifs a et b tel que : $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$
Prouver que : $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ .

Siba a écrit:: V48 = 3.8 à peu près, et c'est pas un entier naturel ...

Spoiler:

Spoiler:

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

Oui,

Sinon pour le 1, j'ai trouvé S = 2013 - (1/3)^2009 , c'est aussi correct ?

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

Qui a fait 6 et 12 ?

Pour 6 on trouve que x^a + y^a - z ^a = x^b + y^b - z^b
Je sais pas si ca conclut la solution...

Spoiler:

SAUF ERREUR!!!!

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

Pour le 6

Spoiler:

Amicalement

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

aymas a écrit:

Spoiler:

SAUF ERREUR!!!!

On ne peut pas supposer l'existence d'un tel k car on a pas a multiple b et puis x,y et sont des réels et non pas seulement dans IN il faut que tu révise ta solution !!!

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

Oui, en plus l'avant dernère ligne est fausse, on peut pas conclure que x^k +1 = = ... = 1

4 + 6 = 10
ca ne veut pas dire que 4 x 1 + 6 x 1 = 10 x 1 et puis c'est tout, par exemple on a :
4 x 2 + 6 x 2 = 10 x 2 ...

ah vraiment merci pour ta remarque j'ai pas fais attention
j'ai voulu écrire a=b+k je vais le corrigé

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

Pour le 12
On sait bien que parmi les triangles qui ont le même périmètre , le triangle équilatérale a la surface maximal .
soit A'B'C' un triangle équilatérale qui a le même périmètre que ABC et notons s' sa surface.
on a ainsi $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ (tel que x est la longueur des cotés du triangle)
mais on a s=<s' , ce qui permet de conclure .

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

Vu que personne ne poste de problème , je vous propose celui-ci assez facile:

Problème 14:

Montrer que:

S = 1/4 xsqrt(P x (P-2a)(P-2c)(P-2b))

Dans un triangle de surface S, de perimetre P, et de cotés a , b et c.

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

Pour le 13:

Après le calcul pour résoudre l'equation 1, j'ai trouvé le système suivant:
(a+4)x(V2)(b+2) = 20
a = (V2)(b+2)- 4
Après le calcul des valeurs, ca nous mène directement au résultat.
Et pour se rassurer, on peut faire un raisonnement par raisonnement par contraposé, ce qui confirme le résultat.

PS: J'ai pas écrit toute ma solution car j'ai du mal à rédiger les signes de maths sur pc .

Siba a écrit:: Vu que personne ne poste de problème , je vous propose celui-ci assez facile:

Problème 14:

Montrer que:

S = 1/4 xsqrt(P x (P-a)(P-c)(P-b))

Dans un triangle de surface S, de perimetre P, et de cotés a , b et c.

je pense que la question est fausse scratch

la formule de héron est :
$Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Png$

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

J'avais juste fait un peu de changement pour poser la question, sinon voici la démonstration en utilisant al-kashi et la surface d'un triangle...

S = a.c.sinB /2
= ((a.c)/2) xV(1 - cos^2 B)
= ((a.c)/2) xV(1- cos B)(1 + cos B)
= ((a.c)/2) xV(1 - (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac))(1 + (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac))
= ((a.c)/2) xV( 2ac - a^2 - c^2 + b^2 / 2ac ) ( 2 ac + a^2 + c^2 - b^2 / 2ac)
= 1/2 xV( 1/2 ( 2ac - a^2 - c^2 + b^2) 1/2 (2 ac + a^2 + c^2 - b^2)
= 1/4 xV(b^2 -(a-c)^2)((a+c)^2 - b^2)
= 1/4 xV(b-a+c)(b+a-c)(a+c-b)(a+c+b)
S = 1/4 xV(P x (P-2a)(P-2c)(P-2b))

Problème 15:
$Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

On calcule:

X = 1/V(a^2 + 1) - 1/2 + 1/V(b^ + 1) - 1/2 + 1/V(c^2 + 1) -1/2

X = [(2 - V(a^2 + 1)) / 2V(a^2 + 1)] +[(2 - V(b^2 + 1)) / 2V(b^2 + 1)] +[(2 - V(c^2 + 1)) / 2V(c^2 + 1)]

La, il suffit de montrer que 2 - V(a^2 + 1) et 2 - V(b^2 +1) et 2 - V(c^2 +1) sont négatifs.

Prenons a:
2 - V(a^2 + 1) < 0 <==> a > V3

Or,
On sait que si a + b + c = abc , alors la valeur minimal est V3 , parce que:
3m < m^3 ==> m > V3 (ou m est la valeur min)

Il en est de meme pour b et c.

Donc:
2 - V(a^2 + 1) et 2 - V(b^2 +1) et 2 - V(c^2 +1) sont tous négatifs.

Alors:
1/V(a^2 + 1) + 1/V(b^ + 1) + 1/V(c^2 + 1) < 3/2

Sauf erreur !

PS: "<" ca veut dire inférieur ou égal "=<".

pas forcement on sait que d'apres IAG la valeur minimale de a+b+c=3V3
on suppose que c=<b=<a donc c=<V3 et V3=<a alors la minimalité des variables n'est pas satisfais

Siba je vais édité l' exo . j'ai commis une faute de frappe.

aymas a écrit:: Problème 15:

$Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif.latex?soit&space;%5C&space;a,b,c&space;%5C&space;%5Cin&space;%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B+%7D&space;%5C&space;tel&space;%5C&space;que&space;%5C&space;a+b+c=abc%5C%5C&space;prouver&space;%5C&space;que&space;%5C&space;:%5C%5C&space;%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E%7B2%7D%7D+1%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D%7D+1%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bc%5E%7B2%7D%7D+1%7D%5Cleq&space;%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D$

L'inégalité à démontré est érronée sinon, pourquoi faire apparaître $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ au lieu d'écrire directement a.
Je pense que la nouvelle inégalité est sans doute $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ .
Il suffit de faire la substition $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ , $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ , $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ .
Où $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ [ $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ [ et $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ .
On a donc $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ , et cycliquement.
Et puis, l'inégalité à démontrer devient $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ .
Ce qui est une application directe de l'inégalité de la convexité (la fonction cosinus étant concave sur [ $Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$ [).
CQFD.
Sauf erreur.

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

non, c'est faux ce que tu dis:

V3 =< c =< b =< a , on a le cas d'egalité quand a b et c prennent la valeur V3...
tu peux pas dire c =< V3 ...

peut tu rediger ta demonstration si c'est possible je voudrai egalement la connaitre

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

aymas a écrit:: peut tu rediger ta demonstration si c'est possible je voudrai egalement la connaitre

regarde page 3 .. c'est déja fait.

Puis , y a nmo qui a utilisé une autre méthode plus simple.

oui nmo c'est déja declarer bon solution
voici la mienne
$Préparations aux olympiades du première (2011-2012) - Page 2 Gif$

Amicalement Very Happy

Pour le 12eme exo j'ai utilisé une methode differente

Spoiler:

AMICALLEMENT Very Happy

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