Bonjour tout le monde ;
après l’interminable semaine du CNC, cet exercice est le bienvenu pour dissiper l’épais brouillard de tant de mois de stress.
Pour la première question, voici ce que je propose :
a) Supposons que f est un homomorphisme de groupe (endomorphisme de G), donc
qqsoit (x,y) in G^2 : xy = f(x^-1) f(y^-1) = f(x^-1y^-1) = f((yx)^-1) = yx , donc
G est abélien .
b) Supposons maintenant que G est abélien,
donc qqsoit (x,y) in G^2 : f(xy) = (xy)^-1 = y^-1 x^-1 = x^-1 y^-1 = f(x) f(y),
on a aussi f(e) = e^-1 = e, donc f est un homomorphisme de groupe (endomorphisme de G),
donc G est abélien si et seulement si l'application f:x ----->x^-1 est un homomorphisme de groupe.
Pour la deuxième question, voici ce que je propose :
a) Supposons que f est un homomorphisme de groupe (endomorphisme de G), donc
qqsoit (x,y) in G^2 : f(xy) = (xy)^2 = xyxy = f(x) f(y) = x^2 y^2, donc xyxy = xxyy, donc yx = xy, donc G est abélien .
b) Supposons maintenant que G est abélien,
donc qqsoit (x,y) in G^2 : f(xy) = (xy)^2 = xyxy = xxyy = x^2 y^2 = f(x) f(y),
on a aussi f(e) = e^2 = e, donc f est un homomorphisme de groupe (endomorphisme de G)
donc G est abélien si et seulement si l'application f:x ----->x^2 est un homomorphisme de groupe.
Je laisse la suite aux autres intervenants.
Merci M.Konan.
Accueil 
