preparez vous aux olympiades

Pour l'exercice de Chessmaster, j'ai aussi répondu à un exercice similaire proposé par milor18 : https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/pr-ceux-qui-aiment-le-challenge-t10725.htm

Exact avec 2005=1[4] : f(2005)=f(1)=2

Merci beaucoup ! =)

Sinon je vous propose d'attaquer tous les exos de l'image que j'ai posté.

Aussi, il ne suffit pas de faire des exos mais aussi connaitre des relations importantes genre :
inf(a;b)=<2/(1/a+1/b)=<Vab=<(a+b)/2=<V((a²+b²)/2)=<sup(a;b)

Avec : inf(a;b) = (a+b-|a-b|)/2 et sup(a;b)=(a+b+|a-b|)/2

Et : (a²+b²)(c²+d²)=(ac-bd)²+(ad+bc)²

On les utilise beaucoup dans les exercices d'olympiades.
Bonne chance à tous :d

Merci beaucoup Chessmaster !!

Salut, pour l'équation de Chessmaster : 4x²+10x+9=5V(2x²+5x+3)

Les solutions sont : S1 = -2 ; S2=(-5+V19)/4

4x²+10x+9=5V(2x²+5x+3)
==> 16x^4+80x^3+122x²+55x+6=0
==> (x+2)(2x+1)(8x²+20x+3)=0
Donc : x = -2 ou x = -1/2 ou 8x²+20x+3=0
D'où x=-2 ou x=-1/2 ou x=(-5+V19)/4 ou x=(-5-V19)/4

Bonjour, aidez moi a résoudre cette inégalité :
On a a²+b²+c² = 1

Montrer que -1/2 =< ab+bc+ac =< 3


G pu trouver juste le premier coté : on trouve que ab+bc+ac = -1/2 + (a+b+c)²/2 , donc elle est supérieure a -1/2.

Merci

PS : @ Chessmaster, si tu as d'autres relations souvent utilisées, n'hésite pas à les partager avec nous

C'est même inférieur à 1, i think.

Chessmaster, tu n'a pas éliminé les solutions qui n'appartiennent pas au domaine de définition.

G une méthode plus simple :
on pose : V(2x²+5x+3) = X

l'équation devient : 2X² + 3 = 5X

....

Ah oui !! C inférieur à 1 ! Ca devient facilea résoudre, donc ..
Merci

Pour l'équation , on a : x=-2 ou x=-1/2 ou x=(-5+V19)/4 ou x=(-5-V19)/4
(-5-V19)/4 je ne sais pas si ça vérifie l'équation mais -1/2 j'ai vérifié, donc déjà elle admet 3 solutions : x=-2 ou x=-1/2 ou x=(-5+V19)/4

on a :
a²+b²>2ab
b²+c²>2bc
a²+c²>2ac
donc : 2(a²+b²+c²)>2(ab+bc+ca)
a²+b²+c²>ab+bc+ca
1>ab+bc+ca

Oui, tu as raison, -1/2 est une solution, j'avais fait une ptite faute de calcul ...

Ok, et pour l'inégalité on a : ab+bc+ca<=1<3
et : ab+bc+ac = -1/2 + (a+b+c)²/2 >= -1/2
D'où -1/2 =< ab+bc+ac < 3
Finalement ab+bc+ac est inférieur strictement à 3

Voila un autre exercice que je n'ai pas pu résoudre:
Soit x,y et z strictement positifs tq : x+y+z= 1

Définir la valeur inférieur de : x²/(x+yz) + y²/(y+xz) + z² /(z+xy)

Montrer que pour tout x de [-1,1] :

/ax²+bx+c/ =< 1 => /cx²+bx+a/ =< 1

avec caushy shwartz:
[x²/(x+yz) + y²/(y+xz) + z² /(z+xy)][1+xy+yz+zx]>=1
avec schur, puisque x+y+z=1 :
xy+yz+zx=< (1+9xyz)/4 (*)
avec AM-GM
xyz=<1/27 <=>9xyz=<1/3
on remplace dans (*)
xy+yz+zx=< (1+1/3)/4 = 1/3
<=> xy+yz+zx+1 =< 4/3
donc:
[x²/(x+yz) + y²/(y+xz) + z² /(z+xy)][4/3]>=
[x²/(x+yz) + y²/(y+xz) + z² /(z+xy)][1+xy+yz+zx]>=1
d'ou:
x²/(x+yz) + y²/(y+xz) + z² /(z+xy) >=3/4

le cas d'egalité et pour x=y=z

Oui mais ça serait d'utiliser cette donnée : x+y+z= 1 et trouver une valeur exacte =)

c ca ce que j'ai fait. lis bien la solution et tu vas voir

Oui pardon c'est bien ça

rajaa16 a écrit:

Montrer que pour tout x de [-1,1] :

/ax²+bx+c/ =< 1 => /cx²+bx+a/ =< 1

C'est quoi les conditions sur a,b et c?

x=y=z et x+y+z=1
cela nous donne que le cas de d'égalité x=y=z=1/3