Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

Mon essaie [Malgré que je n'ai utiliser aucun théoréme]
(a,b,c)=//(0,0,0) <=> a²+b²+c²>0
(On travaille sur |R+ car f(x)=a²+b²+c² est une fonction pair)
Pour que la valeur de a²+b²+c² soit minimal il faut que l'un des trois nombres soit nulle car deux nombres nulles, ca marche pas dans notre premiére égalité.
a=0 (on remplace dans la premiére égalité) <=> (bc)^3=1 <=> bc=1.
Le cas minimale de b et c serait l'égalité. <=> b=c=1 Ou b=c=-1
Et puiseque f(x) est une fonction pair donc:
=> S(min)={(0,1,1);(0,-1,-1);(0,1,-1);(0,-1,1)}
méme chose en choisissant b=0 => ac=1 ...
On résulte donc que le minimal triple qui satisfait l'énoncé serait:
|a|=0 et |b|=1 et |c|=1
|a|=1 et |b|=0 et |c|=1
|a|=1 et |b|=1 et |c|=0
La valeur minimalle que peut atteindre l'expression: A(a,b,c)=a²+b²+c²
Serait donc: 2.
(:s)

M.Marjani a écrit:

Mon essaie [Malgré que je n'ai utiliser aucun théoréme]
(a,b,c)=//(0,0,0) <=> a²+b²+c²>0
(On travaille sur |R+ car f(x)=a²+b²+c² est une fonction pair)
Pour que la valeur de a²+b²+c² soit minimal il faut que l'un des trois nombres soit nulle car deux nombres nulles, ca marche pas dans notre premiére égalité.
a=0 (on remplace dans la premiére égalité) <=> (bc)^3=1 <=> bc=1.
Le cas minimale de b et c serait l'égalité. <=> b=c=1 Ou b=c=-1
Et puiseque f(x) est une fonction pair donc:
=> S(min)={(0,1,1);(0,-1,-1);(0,1,-1);(0,-1,1)}
méme chose en choisissant b=0 => ac=1 ...
On résulte donc que le minimal triple qui satisfait l'énoncé serait:
|a|=0 et |b|=1 et |c|=1
|a|=1 et |b|=0 et |c|=1
|a|=1 et |b|=1 et |c|=0
La valeur minimalle que peut atteindre l'expression: A(a,b,c)=a²+b²+c²
Serait donc: 2.
(:s)

Ce que tu viens d'écrire n'est pas une solution. tout ce que tu as fait c'est expliquer ton point de vue (déconseillé lors des Olympiades), en tout cas le reste finale que tu as trouvé est faux, contre example: a=b=c=(1/2)^(1/3).

P.S: Je vois que tu as essayé de travailler surtout les réels, ceci n'est pas demandé, j'ai deja mentionné que a,b,c sont des réels positifs.

MohE a écrit:

Problème proposé (Alexandrescu):
Soit a,b,c des réels positifs tels que: (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3+2(abc)^3=1. Trouver la valeur minimalle que peut atteindre l'expression: A(a,b,c)=a²+b²+c²

Selon IAG, on a directement .
Donc .
Donc .
Donc .
Posons:.
Donc .
Considérons le trinôme: et étudions son signe.
Remarquons que -1 est une solution évident pour l'équation .
On factorise ainsi ce pôlynome par (x+1).
On aboutit à .
Remarquons aussi que -1 est une solution évidente pour l'équation .
Le produit des racines est -1/2 d'ou la deuxième racine est -1/2.
Donc .
Soit .
On peut aisément écrire .
Donc .
D'autre part, on a trouvé que .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Finalement .
Selon IAG, on a .
Donc .
Donc .
Prenons , et .
Donc .
Donc .==>(1)
On sait que .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .==>(2)
De 1 et 2, on conclut que .
Donc .
Donc .
Selon caushy-schwartz, .
Donc .
Donc .
Avec égalité si et seulement si .
Pour que cette égalité soit établie, il faut que .
Donc est le minimum de .
Ce minimum est atteint pour .
Tout les nombres présents dans cette démonstration sont positifs.
P.S: Je ne suis pas sûr du dernier passage, j'attends vos confirmations.

Bonjour, j'ai oublié l'EX.. bon voilà l'autre essaie (que 2AM GM):

AM>=GM <=> (1/3)(a²+b²+c²)>=((abc)^2)^{1/3}
=>(a²+b²+c²)^3>=27(abc)²
=> a²+b²+c²>=3(abc)^{2/3} (1)
Appliquant AM GM une autre fois: (1/3)((ab)^3+(bc)^3+(ac)^3>=(abc)^6(1/3)
=> (ab)^3+(bc)^3+(ac)^3>=3(abc)²
=>(ab)^3+(bc)^3+(ac)^3+2(abc)^3>=3(abc)²+2(abc)^3
=> 3(abc)²+2(abc)^3=<1
=> (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=<0
Puisque (a,b,c)>=0 Donc V3abc-1=<0
=> abc<V3/3
1/2 est une racine évidente de (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=0 => abc=<1/2 (2)
De (1) et (2) On résulte que: a²+b²+c²>=3*(1/2)^{2/3}

CQFD.

M.Marjani a écrit:

Bonjour, j'ai oublié l'EX.. bon voilà l'autre essaie:
AM>=GM <=> (1/3)(a²+b²+c²)>=((abc)^2)^{1/3}
=>(a²+b²+c²)^3>=27(abc)²
=> a²+b²+c²>=3(abc)^{2/3} (1)
IAG : a²+b²+c²>=3(abc)^{1/3}
On sait que: 27(abc)²>=3(abc)^{1/3}
=> (abc)^{1/3}/(abc)²=<3
=> (abc)^{2/3}=<3
=> abc=<3^{3/2} (2)
De (1) et (2) On résulte que: a²+b²+c²>=3*3=9
CQFD.

Le passage en rouge est faux.
Sinon, peux-tu m'éclairer.

Je sais ça.. je suis entrain de réctifier la valeur minimal de abc.

Par là Mr nmo:

Spoiler:

M.Marjani a écrit:

Bonjour, j'ai oublié l'EX.. bon voilà l'autre essaie (que 2AM GM):

AM>=GM <=> (1/3)(a²+b²+c²)>=((abc)^2)^{1/3}
=>(a²+b²+c²)^3>=27(abc)²
=> a²+b²+c²>=3(abc)^{2/3} (1)
Appliquant AM GM une autre fois: (1/3)((ab)^3+(bc)^3+(ac)^3>=(abc)^6(1/3)
=> (ab)^3+(bc)^3+(ac)^3>=3(abc)²
=>(ab)^3+(bc)^3+(ac)^3+2(abc)^3>=3(abc)²+2(abc)^3
=> 3(abc)²+2(abc)^3=<1
=> (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=<0
Puisque (a,b,c)>=0 Donc V3(abc-1)=<0
=> abc=<V3/3 (2)
De (1) et (2) On résulte que: a²+b²+c²>=3*(V3/3)^{2/3}
CQFD.

Dans ma démonstration, j'ai trouvé que abc=<1/2.
C'est un résultat très fort que celui que tu as trouvé.
Et ainsi, la valeur minimale que j'ai trouvé est inférieure à celle-là.

M.Marjani a écrit:

Bonjour, j'ai oublié l'EX.. bon voilà l'autre essaie (que 2AM GM):
AM>=GM <=> (1/3)(a²+b²+c²)>=((abc)^2)^{1/3}
=>(a²+b²+c²)^3>=27(abc)²
=> a²+b²+c²>=3(abc)^{2/3} (1)
Appliquant AM GM une autre fois: (1/3)((ab)^3+(bc)^3+(ac)^3>=(abc)^6(1/3)
=> (ab)^3+(bc)^3+(ac)^3>=3(abc)²
=>(ab)^3+(bc)^3+(ac)^3+2(abc)^3>=3(abc)²+2(abc)^3
=> 3(abc)²+2(abc)^3=<1
=> (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=<0
Puisque (a,b,c)>=0 Donc V3(abc-1)=<0
=> abc=<V3/3 (2)
De (1) et (2) On résulte que: a²+b²+c²>=3*(V3/3)^{2/3}
CQFD.

Il y a quelque chose à ajouter:
Aucun rapport n'est entre 1 et 2.
Ce qui est en rouge est une faute de frappe.
Il faut dire V3(abc)-1=<0.
Au plaisir.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Bonjour, j'ai oublié l'EX.. bon voilà l'autre essaie (que 2AM GM):

AM>=GM <=> (1/3)(a²+b²+c²)>=((abc)^2)^{1/3}
=>(a²+b²+c²)^3>=27(abc)²
=> a²+b²+c²>=3(abc)^{2/3} (1)
Appliquant AM GM une autre fois: (1/3)((ab)^3+(bc)^3+(ac)^3>=(abc)^6(1/3)
=> (ab)^3+(bc)^3+(ac)^3>=3(abc)²
=>(ab)^3+(bc)^3+(ac)^3+2(abc)^3>=3(abc)²+2(abc)^3
=> 3(abc)²+2(abc)^3=<1
=> (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=<0
Puisque (a,b,c)>=0 Donc V3(abc-1)=<0
=> abc=<V3/3 (2)
De (1) et (2) On résulte que: a²+b²+c²>=3*(V3/3)^{2/3}
CQFD.

Dans ma démonstration, j'ai trouvé que abc=<1/2.
C'est un résultat très fort que celui que tu as trouvé.
Et ainsi, la valeur minimale que j'ai trouvé est inférieure à celle-là.

[Bienvu, j'ai vu l'error mais j'ai hésiter d'éditer la soluc (3 édites xd)]
+ J'ai pas encore vu votre démonstration, mais soit sure qu'il ya plusieurs methodes.. [mais quand on dit "la valeur", il reste donc une valeur parmi les milliers. Et n'oublie pas que ma valeur est plus fort que la tien xD.. malgré ta valeur est innférieur, ils ont dis de préciser la valeur minimal..
Bon, je vais lire votre methode.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Bonjour, j'ai oublié l'EX.. bon voilà l'autre essaie (que 2AM GM):
AM>=GM <=> (1/3)(a²+b²+c²)>=((abc)^2)^{1/3}
=>(a²+b²+c²)^3>=27(abc)²
=> a²+b²+c²>=3(abc)^{2/3} (1)
Appliquant AM GM une autre fois: (1/3)((ab)^3+(bc)^3+(ac)^3>=(abc)^6(1/3)
=> (ab)^3+(bc)^3+(ac)^3>=3(abc)²
=>(ab)^3+(bc)^3+(ac)^3+2(abc)^3>=3(abc)²+2(abc)^3
=> 3(abc)²+2(abc)^3=<1
=> (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=<0
Puisque (a,b,c)>=0 Donc V3(abc-1)=<0
=> abc=<V3/3 (2)
De (1) et (2) On résulte que: a²+b²+c²>=3*(V3/3)^{2/3}
CQFD.

Dans ma démonstration, j'ai trouvé que abc=<1/2.
C'est un résultat très fort que celui que tu as trouvé.
Et ainsi, la valeur minimale que j'ai trouvé est inférieure à celle-là.

J'ai pas encore vu votre démonstration, mais soit sure qu'il ya plusieurs methodes.. [mais quand on dit "la valeur", il reste donc une valeur parmi les milliers. Et n'oublie pas que ma valeur est plus fort que la tien xD.. malgré ta valeur est innférieur, ils ont dis de préciser la valeur minimal..
Bon, je vais lire votre methode.

On a 4>=3.
Donc 1/3>=1/4.
Donc V(1/3)>=V(1/4).
Donc V3/3>=1/2.
Ainsi la valeur que j'ai trouvé est plus forte que la tienne.
Sinon, pour quelles valeurs de a, b, et c l'expression A atteint ce que tu as trouvé?

On a: a=<1 et a=<1/2 Donc on prend a=<1/2.
Par contre: On a: a>=1 et a>=1/2 on prend a>=1 xDD.
Je m'en fou de min(a,b,c) ce n'est pas mensioner à la question ..

M.Marjani a écrit:

On a: a=<1 et a=<1/2 Donc on prend a=<1/2.
Par contre: On a: a>=1 et a>=1/2 on prend a>=1 xDD.
Je m'en fou de min(a,b,c) ce n'est pas mensioner à la question ..

Tu as trouvé que a²+b²+c²>=3(abc)^{2/3} (1)
Et abc=<V3/3 (2)
Qui n'est autre que V3/3>=abc.
Quelle relation entre ce qui est en rouge?
Je pense qu'on ne peut rien dire.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

On a: a=<1 et a=<1/2 Donc on prend a=<1/2.
Par contre: On a: a>=1 et a>=1/2 on prend a>=1 xDD.
Je m'en fou de min(a,b,c) ce n'est pas mensioner à la question ..

Tu as trouvé que a²+b²+c²>=3(abc)^{2/3} (1)
Et abc=<V3/3 (2)
Qui n'est autre que V3/3>=abc.
Quelle relation entre ce qui est en rouge?
Je pense qu'on ne peut rien dire.

Pour toi oui, mais pour moi je vais te dire qu'on va prendre la valeur maximal de abc qui est V3/3 et la remplacer dans l'inégalité..

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

On a: a=<1 et a=<1/2 Donc on prend a=<1/2.
Par contre: On a: a>=1 et a>=1/2 on prend a>=1 xDD.
Je m'en fou de min(a,b,c) ce n'est pas mensioner à la question ..

Tu as trouvé que a²+b²+c²>=3(abc)^{2/3} (1)
Et abc=<V3/3 (2)
Qui n'est autre que V3/3>=abc.
Quelle relation entre ce qui est en rouge?
Je pense qu'on ne peut rien dire.

Pour toi oui, mais pour moi je vais te dire qu'on va prendre la valeur maximal de abc qui est V3/3 et la remplacer dans l'inégalité..

Pourqoi si abc est maximal, alors a²+b²+c² est minimal?
Si cela est juste, il y a des lignes dans ma démonstration qui doivent être supprimés.
J'attends ta réponse impatiemment.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

On a: a=<1 et a=<1/2 Donc on prend a=<1/2.
Par contre: On a: a>=1 et a>=1/2 on prend a>=1 xDD.
Je m'en fou de min(a,b,c) ce n'est pas mensioner à la question ..

Tu as trouvé que a²+b²+c²>=3(abc)^{2/3} (1)
Et abc=<V3/3 (2)
Qui n'est autre que V3/3>=abc.
Quelle relation entre ce qui est en rouge?
Je pense qu'on ne peut rien dire.

Pour toi oui, mais pour moi je vais te dire qu'on va prendre la valeur maximal de abc qui est V3/3 et la remplacer dans l'inégalité..

Pourqoi si abc est maximal, alors a²+b²+c² est minimal?
Si cela est juste, il y a des lignes dans ma démonstration qui doivent être supprimés.
J'attends ta réponse impatiemment.

Logiquement on peut déduire çà.. + Regarde l'exemple que je t'ai donné auparavant.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

On a: a=<1 et a=<1/2 Donc on prend a=<1/2.
Par contre: On a: a>=1 et a>=1/2 on prend a>=1 xDD.
Je m'en fou de min(a,b,c) ce n'est pas mensioner à la question ..

Tu as trouvé que a²+b²+c²>=3(abc)^{2/3} (1)
Et abc=<V3/3 (2)
Qui n'est autre que V3/3>=abc.
Quelle relation entre ce qui est en rouge?
Je pense qu'on ne peut rien dire.

Pour toi oui, mais pour moi je vais te dire qu'on va prendre la valeur maximal de abc qui est V3/3 et la remplacer dans l'inégalité..

Pourqoi si abc est maximal, alors a²+b²+c² est minimal?
Si cela est juste, il y a des lignes dans ma démonstration qui doivent être supprimés.
J'attends ta réponse impatiemment.

Logiquement on peut déduire çà.. + Regarde l'exemple que je t'ai donné auparavant.

Si c'est ça le cas, ma réponse est juste, je donne un exercice après l'intervention d'un membre pour nous confirmer ce qui est dit.

Spoiler:

[/quote]

J'attend donc la confirmation de Mr MoH.

M.Marjani a écrit:

M.Marjani a écrit:

Je sais ça.. je suis entrain de réctifier la valeur minimal de abc.
Par là Mr nmo:

Spoiler:

Bon je veux dire abc<V3/3, s'est réctifier.. d'ou ta soluc demeure fausse Mr nmo.

Je t'ai dit que abc=<1/2.
Je te prie de lire ma démonstration complètement pour le savoir.
J'attend ton avis.

Oui, car: 1/2 est une racine évidente de (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=0 et abc=<V3/2 Donc abc=<1/2.

nmo a écrit:

MohE a écrit:

Problème proposé (Alexandrescu):
Soit a,b,c des réels positifs tels que: (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3+2(abc)^3=1. Trouver la valeur minimalle que peut atteindre l'expression: A(a,b,c)=a²+b²+c²

Avec égalité si et seulement si .
Pour que cette égalité soit établie, il faut que .
Donc est le minimum de .
Ce minimum est atteint pour .
Tout les nombres présents dans cette démonstration sont positifs.
P.S: Je ne suis pas sûr du dernier passage, j'attends vos confirmations.

Tout est juste du début, mais quand on arrive au dernier passage, je trouve que ce n'est pas forcément juste [pas logique] malgré il est juste.
En plus tu n'as pas utiliser des inigalités fort!

Regarde frére nmo:

T'as montré que: (a²+b²+c²)(1/a² +1/b² +1/c²)>=9
=> a²+b²+c²>=9/(1/a² +1/b² +1/c²)
T'as trouvé que: 1/a² +1/b² +1/c²>=3*(2)^{2/3)
=> 1/(1/a² +1/b² +1/c²)=<3*(1/2)^{2/3}
=> a²+b²+c²>=9*(1/3*(2)^{2/3})=3*(1/2)^{2/3}

Et tu reviens vitement à ce que j'ai dis
Alors Mr MoH?

M.Marjani a écrit:

Spoiler:

Voilà pour simplifier le travaille de Mr MoH. J'attend donc la confirmation de Mr MoH.

La dernier passage de Nmo n'est pas du tout correct.
La démonstration de M.Marjani est aussi erronée.

Citation :

=> (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=<0
Puisque (a,b,c)>=0 Donc V3abc-1<0
=> abc<V3/3
1/2 est une racine évidente de (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=0 =>abc=<1/2 (2)

, certes, mais ce que vous faîtes ne veut rien dire (revoyez vos parenthèses).

Citation :

De (1) et (2) On résulte que: a²+b²+c²>=3*(1/2)^{2/3}

C'est soit vous plaisantez, soit vous ne maîtrisez pas du tout les mathématiques. Vous dites que cela est vrai :

Dijkschneier a écrit:

La dernier passage de Nmo n'est pas du tout correct.
La démonstration de M.Marjani est aussi erronée.

Citation :

=> (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=<0
Puisque (a,b,c)>=0 Donc V3abc-1<0
=> abc<V3/3
1/2 est une racine évidente de (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=0 =>abc=<1/2 (2)

, certes, mais ce que vous faîtes ne veut rien dire (revoyez vos parenthèses).

Citation :

De (1) et (2) On résulte que: a²+b²+c²>=3*(1/2)^{2/3}

C'est soit vous plaisantez, soit vous ne maîtrisez pas du tout les mathématiques. Vous dites que cela est vrai :

C'est ça ce que Marjani n'arrive pas à saisir hier.
En ce qui concerne ma démonstration, j'ai voulu résoudre l'exercice avec la force.
Je vais réessayer.

Dijkschneier a écrit:

La dernier passage de Nmo n'est pas du tout correct.
La démonstration de M.Marjani est aussi erronée.

Citation :

=> (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=<0
Puisque (a,b,c)>=0 Donc V3abc-1<0
=> abc<V3/3
1/2 est une racine évidente de (V3(abc)-1)(V3(abc+1)+2(abc)^3=0 =>abc=<1/2 (2)

, certes, mais ce que vous faîtes ne veut rien dire (revoyez vos parenthèses).

Citation :

De (1) et (2) On résulte que: a²+b²+c²>=3*(1/2)^{2/3}

C'est soit vous plaisantez, soit vous ne maîtrisez pas du tout les mathématiques. Vous dites que cela est vrai :

Ou bien tu n'as rien compris de ma methode
J'ai revoyé, ce que tu viens d'annoncer au dernier, je l'ai pas utiliser.. J'ai utiliser max(abc), ce qui est juste de le remplacer dans la dérniere inégalité.. Mais j'assume que le résultat donnée sera vrai 70/100.
J'attend ta methode Dejcka..