Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

Pour abc=<1/2:

J'ai montré que: abc<V3/3, de l'égalité j'ai remarqué que: 1/2 est la racine évidente la plus approcher à V3/3. Donc: abc-1/2=0 <=> abc=1/2.

Sinon donne ton contre exemple.

Je propose un nouvel exercice.
Problème :
Déterminer les mesures des angles d'un triangle rectangle ABC tel que M est le milieu de l'hypoténuse [BC] et AM² = AB.AC

Bonjour;
Supposons que: , ABC triangle rectangle en A.
On sait que: AM²=AB*AC et: AM=BC/2 <=> BC²/4=AB*AC
D'ou BC/4AC=AB/BC (1)

D'autre part: AM²=(vec)AC.AB+(1/4)AB² (علاقة المتوسط) et: AM²=AB*AC
<=> (vec)AC.AB+(1/4)BC²=AB*BC
=> AC²-(vec)BC.AC=AB*AC-(1/4)BC²
Donc: (vec)BC.AC=AC²-AB*AC+(1/4)BC²
Et d'aprés (1) On a: (vec)BC.AC=-3AC²+(1/4)BC² (A)
Et on sait que: (vec)BC.AC=BC*AC*Cos(c) (B)
De (A) et (B) on résulte que: -3AC²+(1/4)BC²=BC*AC*Cos(c)
=> Cos(x)=(-3AC)/BC*AC + BC²/(BC*AC) = -3AC/BC+ BC/AC (3)
On sait que Cos(c)=AC/BC, Et d'aprés (3) on trouve que:
Cos(c)=-3Cos(c)+1/Cos(c) => Cos²(c)=1/4
(c) angle dans un triangle donc: (c)£[0,Pi/2]
Donc: Cos(c)=1/2=Cos(Pi/3)
On résoud l'equation dans [(0,Pi/2] on trouve que: (c)=Pi/3
D'ou: (a)=Pi/2 et: (c)=Pi/3 et (b)=Pi/6

CQFD.

M.Marjani a écrit:

Bonjour;
Supposons que: , ABC triangle rectangle en A.
On sait que: AM²=AB*AC et: AM=BC/2 <=> BC²/4=AB*AC
D'ou BC/4AC=AB/BC (1)
D'autre part: AM²=(vec)AC.AB+(1/4)AB² (علاقة المتوسط) et: AM²=AB*AC
<=> (vec)AC.AB+(1/4)BC²=AB*BC
=> AC²-(vec)BC.AC=AB*AC-(1/4)BC²
Donc: (vec)BC.AC=AC²-AB*AC+(1/4)BC²
Et d'aprés (1) On a: (vec)BC.AC=-3AC²+(1/4)BC² (A)
Et on sait que: (vec)BC.AC=BC*AC*Cos(c) (B)
De (A) et (B) on résulte que: -3AC²+(1/4)BC²=BC*AC*Cos(c)
=> Cos(x)=(-3AC)/BC*AC + BC²/(BC*AC) = -3AC/BC+ BC/AC (3)
On sait que Cos(c)=AC/BC, Et d'aprés (3) on trouve que:
Cos(c)=-3Cos(c)+1/Cos(c) => Cos²(c)=1/4
(c) angle dans un triangle donc: (c)£[0,Pi/2]
Donc: Cos(c)=1/2=Cos(Pi/3)
On résoud l'equation dans [(0,Pi/2] on trouve que: (c)=Pi/3
D'ou: (a)=Pi/2 et: (c)=Pi/3 et (b)=Pi/6
CQFD.

Tu veux dire que -3AC²+(1/4)BC²=AC²-AB*AC+(1/4)BC².
Donc 4AC²=AC*AB.
Donc 4AC=AB.
Ce qui n'est pas présent dans les données.
Ainsi ta solution est fausse.
(Tu n'as pas bien remplacé en utilisant (1)).
Réessaye.

Dijkschneier a écrit:

Je propose un nouvel exercice.
Problème :
Déterminer les mesures des angles d'un triangle rectangle ABC tel que M est le milieu de l'hypoténuse [BC] et AM² = AB.AC

Voici ma solution:
La mesure de l'angle ABC est b, celle de l'angle ACB est c.
L'hypoténuse est [BC], donc le triangle ABC est rectangle en A.
Donc la mesure de l'angle BAC est .
Selon la loi des sinus, on a .
Donc .
Donc .
On a M le milieu de [BC].
Donc AM=BM=CM=(1/2)BC.
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
On sait que .
Donc .
Remplaçons donc:
On a .
Donc .
Donc .
Les angles ABC et ACB sont aigus, donc leurs rapports triangulaires sont positifs. (on peut passer à la racine et au carré sans problèmes)
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Résolvons cette équation:
Posons .
Donc notre équation équivaut à .
Cette équation a pour discriminent: .
Et .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Cette équation a pour racines x1 et x2.
Et et .
Donc et .
Donc et .
Donc et .
(les deux solutions sont positives)
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
On sait que et .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Si .
Alors .
Donc .
Si .
Alors .
Donc .
Sauf erreur.

nmo a écrit:

Tu veux dire que -3AC²+(1/4)BC²=AC²-AB*AC+(1/4)BC².
Donc 4AC²=AC*AB.
Donc 4AC=AB.
Ce qui n'est pas présent dans les données.
Ainsi ta solution est fausse.
(Tu n'as pas bien remplacé en utilisant (1)).
Réessaye.

D'aprés (1): AB=4AC , Multipliant par AC <=> AB*AC=4AC² <=> -AB*AC=-4AC².
D'ou: AC²-AB*AC+(1/4)BC²=AC²-4AC²+(1/4)BC².. donc ca marche..
Je vais lire ta methode (malgré il est trés looonGue) :p
(Il faut réflichir avant d'agir)

nmo a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Je propose un nouvel exercice.
Problème :
Déterminer les mesures des angles d'un triangle rectangle ABC tel que M est le milieu de l'hypoténuse [BC] et AM² = AB.AC

Voici ma solution:
La mesure de l'angle ABC est b, celle de l'angle ACB est c.
L'hypoténuse est [BC], donc le triangle ABC est rectangle en A.
Donc la mesure de l'angle BAC est .
Selon la loi des sinus, on a .
Donc .
Donc .
On a M le milieu de [BC].
Donc AM=BM=CM=(1/2)BC.
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
On sait que .
Donc .
Remplaçons donc:
On a .
Donc .
Donc .
Les angles ABC et ACB sont aigus, donc leurs rapports triangulaires sont positifs. (on peut passer à la racine et au carré sans problèmes)
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Résolvons cette équation:
Posons .
Donc notre équation équivaut à .
Cette équation a pour discriminent: .
Et .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Cette équation a pour racines x1 et x2.
Et et .
Donc et .
Donc et .
Donc et .
(les deux solutions sont positives)
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
On sait que et .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Si .
Alors .
Donc .
Si .
Alors .
Donc .
Sauf erreur.

Voici ta grande faute nmo:



C'est plutot:

A toi de reprendre nmo

Exercise proposé:

ABCD est un carré dont les côtés ont pour longueur 1.
M , P , R et S sont 4 points situés respectivement sur [AB] , [BC] , [CD] et [DA].
Montrer que 2 < MP2 + PR2 + RS2 + SM2 < 4

Bonne chance.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Tu veux dire que -3AC²+(1/4)BC²=AC²-AB*AC+(1/4)BC².
Donc 4AC²=AC*AB.
Donc 4AC=AB.
Ce qui n'est pas présent dans les données.
Ainsi ta solution est fausse.
(Tu n'as pas bien remplacé en utilisant (1)).
Réessaye.

D'aprés (1): AB=4AC , Multipliant par AC <=> AB*AC=4AC² <=> -AB*AC=-4AC².
D'ou: AC²-AB*AC+(1/4)BC²=AC²-4AC²+(1/4)BC².. donc ca marche..
Je vais lire ta methode (malgré il est trés looonGue) :p
(Il faut réflichir avant d'agir)

Le 1 dans ta démonstration n'est pas ce 1 que tu dis.
Ma démonstration est fort juste car j'ai fait BC²=BC.BC.
Et j'ai remplaçé.
J'attends l'avis de Dijkschneier.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Tu veux dire que -3AC²+(1/4)BC²=AC²-AB*AC+(1/4)BC².
Donc 4AC²=AC*AB.
Donc 4AC=AB.
Ce qui n'est pas présent dans les données.
Ainsi ta solution est fausse.
(Tu n'as pas bien remplacé en utilisant (1)).
Réessaye.

D'aprés (1): AB=4AC , Multipliant par AC <=> AB*AC=4AC² <=> -AB*AC=-4AC².
D'ou: AC²-AB*AC+(1/4)BC²=AC²-4AC²+(1/4)BC².. donc ca marche..
Je vais lire ta methode (malgré il est trés looonGue) :p
(Il faut réflichir avant d'agir)

Le 1 dans ta démonstration n'est pas ce 1 que tu dis.
Ma démonstration est fort juste car j'ai fait BC²=BC.BC.
Et j'ai remplaçé.
J'attends l'avis de Dijkschneier.

BC/4AC=AB/BC <=> BC/BC=AB/4AC <=> 1=AB/4AC <=> AB=4AC..

C'est faux ce que t'as utilisé.. regarde la premiére étape que t'as utiliser dans la loi des sinus.. et compare là avec BC²=..

salam

A propos de l'exercice précédent:

AM²=AB.AC

BC²/4 = AB.AC

1/4 = (AB/BC).(AC/BC)

1/4 = cosB.sinB

1/2= 2cosB.sinB

1/2=sin(2B)

2B= pi/6

B=pi/12 ====> C= 5pi/12

.

nmo a écrit:

Spoiler:

Le résultat est correct. Je n'ai pas entièrement lu ta démonstration, car sa présentation ne le permet pas. Pour tes prestations futures, veille à sauter certaines étapes qui peuvent être facilement comprises afin de gagner en concision. Cela aurait un impact certain sur ceux qui te liront alors.

Mais laissez-moi vous proposer une solution différente :

Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC). (AH) est alors une hauteur.

ou . Par symétrie, choisissons .
ABM étant isocèle en M, il vient que . Dès lors,
Finalement, puisque la situation est symétrique, la permutation entre la mesure des deux angles B et C donne une solution également valable.

M.Marjani a écrit:

Voici ta grande faute nmo:



C'est plutot:

A toi de reprendre nmo

Pas du tout. La démonstration de Nmo semble tenir debout, contrairement à la tienne.

ma solution n'est -elle pas intéressante ??

je vois que aimez beaucoup les longues discussions.

.

houssa a écrit:

ma solution n'est -elle pas intéressante ??

je vois que aimez beaucoup les longues discussions.

.

A mon avis votre solution est la meilleur Mr Houssam. Le passage du produit au Sin était sympa
Quelques identités que vous avez utiliser n'existe pas au programe TC, mais ta methode reste la plus courte et la meilleur.

Exercise proposé:

ABCD est un carré dont les côtés ont pour longueur 1.
M , P , R et S sont 4 points situés respectivement sur [AB] , [BC] , [CD] et [DA].
Montrer que 2 < MP2 + PR2 + RS2 + SM2 < 4

Bonne chance.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Tu veux dire que -3AC²+(1/4)BC²=AC²-AB*AC+(1/4)BC².
Donc 4AC²=AC*AB.
Donc 4AC=AB.
Ce qui n'est pas présent dans les données.
Ainsi ta solution est fausse.
(Tu n'as pas bien remplacé en utilisant (1)).
Réessaye.

D'aprés (1): AB=4AC , Multipliant par AC <=> AB*AC=4AC² <=> -AB*AC=-4AC².
D'ou: AC²-AB*AC+(1/4)BC²=AC²-4AC²+(1/4)BC².. donc ca marche..
Je vais lire ta methode (malgré il est trés looonGue) :p
(Il faut réflichir avant d'agir)

Le 1 dans ta démonstration n'est pas ce 1 que tu dis.
Ma démonstration est fort juste car j'ai fait BC²=BC.BC.
Et j'ai remplaçé.
J'attends l'avis de Dijkschneier.

BC/4AC=AB/BC <=> BC/BC=AB/4AC <=> 1=AB/4AC <=> AB=4AC..
C'est faux ce que t'as utilisé.. regarde la premiére étape que t'as utiliser dans la loi des sinus.. et compare là avec BC²=..

Ce qui est en rouge est tellement faux.
Ceci n'est pas autorisé.
Amicalement.
P.S: la methode de Dijkschneier est bien organisé.
Quant à celle de houssa, il faut qu'il démontre ce qu'il a utilisé car nous sommes encore en tronc commun (en réalité, c'est le résumé de ce que j'ai fait).

nmo a écrit:

houssa a écrit:

je vois que aimez beaucoup les longues discussions.

.

Exercise proposé:

ABCD est un carré dont les côtés ont pour longueur 1.
M , P , R et S sont 4 points situés respectivement sur [AB] , [BC] , [CD] et [DA].
Montrer que 2 < MP2 + PR2 + RS2 + SM2 < 4

Bonne chance.

M.Marjani a écrit:

Exercise proposé:
ABCD est un carré dont les côtés ont pour longueur 1.
M , P , R et S sont 4 points situés respectivement sur [AB] , [BC] , [CD] et [DA].
Montrer que 2 < MP2 + PR2 + RS2 + SM2 < 4
Bonne chance.

Posons AM=x, alors BM=1-x.
On a M un point du segment [AB].
Donc AM=<AB.
Donc x=<1.
Donc 2x=<2.
Donc 2x-1=<1.
Donc 0=<(2x-1)²=<1.
Donc 0=<4x²-4x+1=<1.
Donc 1=<4x²-4x+2=<2.
Donc 1/2=<(4x²-4x+2)/2=<2/2.
Donc 1/2=<2x²-2x+1=<1.
Donc 1/2=<x²+x²-2x+1=<1.
Donc 1/2=<x²+(1-x)²=<1.
Donc 1/2=<AM²+BM²=<1.==>(1)
De même, on démontre que 1/2=<PB²+PC²=<1.==>(2)
Et 1/2=<RC²+RD²=<1.==>(3)
Et 1/2=<AS²+SD²=<1.==>(4)
En sommant ces quatres inégalités, côté par côté, on trouve 1/2+1/2+1/2+1/2=<AM²+BM²+PB²+PC²+RC²+RD²+AS²+SD²=<1+1+1+1.
Donc 2=<AM²+BM²+PB²+PC²+RC²+RD²+AS²+SD²=<4.==>(*)
D'autre part, on a AMR un triangle rectangle en A.
Donc, selon le théorème de pytagore AM²+SA²=SM².
De même, on démontre que MB²+BP²=MP².
Et PC²+CR²=PR².
Et QD²+DS²=QR².
En remplaçant dans *, on trouve 2=<MP²+PR²+RS²+SM²=<4.
CQFD.

Je vous propose cet exercice:
a est un réel vérifiant .
Montrez que .
Bonne chance.

a^5-a^3+a=a(a^4-a²+1)=2 <==> a^4-a²+1=2/a <==>

(multipliant avec a²+1) a^6= 2(a+ 1/a)-1

2(a + 1/a)-1>=4-1= 3 ==> a^6>= 3

2)

2+a^3=a^5+a <==> 2/a^3 +1 = a²+ 1/a²>= 2

2/a^3>=1 <==> a^3<=2 <==> a^6 <= 4

On peut facilement prouver que ce réel a ne peut être que positif.
Dès lors, , la première inégalité étant une application de l'IAG.
Bon, master m'a devancé. Bravo.

pour nmo

salam

je ne sais pas exactement ce qui est autorisé dans les réponses

par exemple:

j'ai lu des passages dans des réponses comme:

5^{1/3} ......est ce au programme du tronc commun ?

d'après l'IAG ....est ce au programme du tronc commun ?

résoudre : (a^x).(b^(y-5)) = 2 ....x et y réels ....

est ce au programme du tronc commun ?

.

............................................

Re à vous :p

Déja on a: x>0 [le 0 ne satisfait pas l'énoncé].
Si x£]0,1[ on a: x^3>=x^5 <=> x^5-x^3=<0 <=> x^5-x^3+x<1. Absurde
Si x=1: 1-1+1=1<2 absurde. D'ou x>1.
Considéron a>=0 et appliquant l'AM-GM: 1(a^5-a^3+a)>=(-a^5*a^3*a)^{1/3} <=> (a^5-a^3+a)>=-a^3 <=> a^6=<4.
Clair que a>1 (Si a=<1 On trouve que: a^5-a^3+a<2] .. Multipliant l'éfalité de départ par a: a^6-a^4+a²=2a <=> a^6=(a²-a)(a²+a)+2a
=> a^6>=a²+a+2a>=a²+2a+1>=(a+1)²>=4.
D'ou:

M.Marjani a écrit:

Exercise proposé:
ABCD est un carré dont les côtés ont pour longueur 1.
M , P , R et S sont 4 points situés respectivement sur [AB] , [BC] , [CD] et [DA].
Montrer que 2 < MP2 + PR2 + RS2 + SM2 < 4
Bonne chance.

Ma methode:
On a: MP²+PR²+RS²+SM²=AB²+BC²AD²+DC²-2(BP*PC+..+AS*SD)=4-2(BP*PC+..+AS*SD)<4 (1)
Supposons que: AM=<DR=<BM
MP²+PR²+RS²+SM²>=2(PC*RC+MB*PB+SD*DR+AM*SA)=2((1-BP)(1-DR)+(1-AM)*PB+AM*(1-SD)+SD*DR
= 2(1-BP-DR+BP*DR+PB-AM*PB+AM-AM*SD+SD*DR)
= 2(1+AM+SD*DR-DR+BP*DR-AM(SD+PB)
= 2(1+AM-AM(PB+SD+DR(SD+BP))
= 2(1+AM+(BP+SD)(DR-AM)) > 2
D'ou: 2 < MP2 + PR2 + RS2 + SM2 < 4.