Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

Toutes ces réponses sont belles et justes.
Voici deux autres
Problème 1:
Déterminez un nombre de trois chiffres sachant que:
-la somme des chiffres est 18.
-il augmente de 18 quand on permute les deux derniers chiffres.
-il diminue de 360 quand on permute les deux premiers chiffres.
Problème 2:
Détreminez tous les entiers n tel que n^2+8n-56 soit un carré parfait.
Bonne chance.

voici un autre exercice:
a,b,c,et a,'b',c' sont des nombres réels tels que a/a'+b/b'=1 et b/b'+c/c'=1
montrez que abc+a'b'c'=0.

Je signale que si quelqu'un a un exercice peut le poster.
Si aucun n'a posté sa réponse je vais poster la mienne.
Bonne chance.

Voici un autre:
L'aire d'un triangle est 20.
Son périmètre est 24.
Calculez le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.
Bonne chance.

Pour l'exo 1 :
le nombre est 846 ( j'ai pas le temps de poster la méthode mais c'est comme celui d'avant )
Pour le deuxiéme
n=5 mais je suis pas encore sûr !! en attente de ta confirmation ^^

nmo a écrit:

voici un autre exercice:
a,b,c,et a,'b',c' sont des nombres réels tels que a/a'+b/b'=1 et b/b'+c/c'=1
montrez que abc+a'b'c'=0.

Bjr :
ya un truc qui cloche ... prend a,b,c=1 et a',b',c'=2

on aura abc + a'b'c' = 9 et pas 0

nmo a écrit:

voici un autre:
l'aire d'un triangle est 20. son périmètre est 24.
calculez le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.

On prend O le cercle inscrit dans ce triangle abc, et R le rayon.
K projeté orthogonale de O sur ab
H projeté orthogonale de O sur ac
L projeté orthogonale de O sur bc
on a IK=IL=IH=R
on a Sabc=20
et Siab=1/2.R.ab Siac=1/2.R.ac et Sibc=1/2.R.bc
Sabc=Siab+Siac+Sibc
20=1/2.R(ab+bc+ac)
=1/2.R.24
=12R
donc R=20/12=5/3cm

nmo a écrit:

voici un autre exercice:
a,b,c,et a,'b',c' sont des nombres réels tels que a/a'+b/b'=1 et b/b'+c/c'=1
montrez que abc+a'b'c'=0.

Il y'a une faute dans l'énoncé, tu aurai dit: a/a'+b'/b=1 et b/b'+c'/c=1
------------------------------------------------------------------------------------
Dans ce cas voila ma réponse:
On a b/b'+c'/c=1 donc (bc+b'c')/b'c=1 donc bc+b'c'=b'c
on multiplie par a' et on trouve a'bc+a'b'c'=a'b'c(1)

On a a/a'+b'/b=1 donc ab+a'b'=a'b
on multiplie par c et on trouve abc+a'b'c=a'bc(2)

(1)+(2)==>abc+a'b'c'=0

Oui j'ai une faute dans l'énoncé.
Bien joué yassine, les deux solutios sont justes.

Soient x le chiffre des centaine, y le chiffre des dizaines, z le chiffre des unités.
-La somme des chiffres est 18
Cela veut dire x+y+z=18.
-Il augmente de 18 quand on permute les deux derniers chiffres.
Cela veut dire 100x+10z+y=100x+10y+z+18.
-Il diminue de 360 quand on permute les deux premiers chiffres.
Cela veut dire 100y+10x+y=100x+10y+z-360.
On obtient le système:
x+y+z=18.
100x+10z+y=100x+10y+z+18.
100y+10x+y=100x+10y+z-360.
D'ou
x+y+z=18.
9z-9y=18.
90y-90x=-360.
Et ensuite
x+y+z=18.
z-y=2.
y-x=-4.
Donc
z=y+2.
x=y+4.
y+4+y+y+2=18.
Ensuite:
3y=12
z=y+2.
x=y+4.
Finalement:
y=4.
z=6.
x=8.
D'ou le nombre est 846.
Oui c'est juste darkpseudo.

Un autre exercice (facile).
Résolvez le système suivant:
3x^2+2y^2=-5.
2x^151-3y^12=17.
Bonne chance.

Pour l'exercice en haut:
Il existe un nombre p tels que n^2+8n-56=p^2.
Donc n^2+8n+16-16-56=p^2.
Donc (n+4)^2-72=p^2.
Ensuite (n+4)^2-p^2=72.
Et enfin (n+4+p)(n+4-p)=72.
Les diviseurs de 72 sont 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,32,72.
Et comme n+4+p>n+p-p.
Le premier cas: (n+4+p)(n+4-p)=72*1.
Donc 2n+8=73.
Et 2n=65.
Donc n dans ce cas n'est pas naturel.
Le second cas: (n+4+p)(n+4-p)=32*2.
Donc 2n+8=34.
Et 2n=26.
Donc n=13.==>(1).
Le troisième cas: 3/(n+4+p)(n+4-p)=24*3.
Donc 2n+8=27.
Et 2n=19
Donc n dans ce cas n'est pas naturel.
Le quatrième cas: (n+4+p)(n+4-p)=18*4.
Donc 2n+8=22
Et 2n=14.
Donc n=7.==>(2).
Le cinquième cas: (n+4+p)(n+4-p)=12*6.
Donc 2n+8=18
Et 2n=10
Donc n=5.==>(3).
Le sixième cas: (n+4+p)(n+4-p)=9*8.
Donc 2n+8=17.
Et 2n=9.
Donc n dans ce cas n'est pas naturel.
De 1, 2, et 3 les valeurs possibles de n sont 5, 7, et 13.
Sauf erreur.

Je souhaite que vous vous assurer des réponses.

nmo a écrit:

pourl'exercice en haut
il existe un nombre p tels que n^2+8n-56=p^2.
donc n^2+8n+16-16-56=p^2.
donc (n+4)^2-72=p^2.
ensuite (n+4)^2-p^2=72.
et enfin (n+4+p)(n+4-p)=72.
les diviseurs de 72 sont 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,32,72.
et comme n+4+p>n+p-p.
1/(n+4+p)(n+4-p)=72*1.
donc 2n+8=73.
et 2n=65.
n dans ce cas n'est pas naturel.
2/(n+4+p)(n+4-p)=32*2.
donc 2n+8=34.
et 2n=26.
donc n=13.==>(1).
3/(n+4+p)(n+4-p)=24*3.
donc 2n+8=27.
et 2n=19
n dans ce cas n'est pas naturel.
4/(n+4+p)(n+4-p)=18*4.
donc 2n+8=22
et 2n=14.
donc n=7.==>(2).
5/(n+4+p)(n+4-p)=12*6.
donc 2n+8=18
et 2n=10
donc n=5.==>(3).
6/(n+4+p)(n+4-p)=9*8.
donc 2n+8=17.
et 2n=9.
n dans ce cas n'est pas naturel.
de1,2,et 3 les valeurs possibles de n sont 5,7,13.
sauf erreur.

Dsl mais c'est 36 qui est un diviseur de 72 donc :
n = 5 ou 7 ou 15

nmo a écrit:

un autre exercice (facile).
résolvez le système suivant:
3x^2+2y^2=-5.
2x^151-3y^12=17.

il n'existe pas de solution ; un carré est toujours positif et la somme de deux carré l'est aussi ^^

C'est une erreur d'inattetion.
Quant à l'autre exercice c'est juste.
J'attend un exercice.

Comme il n'y a aucun exercice, voici le mien:
a,b,et c sont des nombre réels.
Montrez que a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca .
Et déduisez que l'un des nombres x,y,et z est positif sachant que:
x=a^2-bc.
y=b^2-ac.
z=c^2-ab.
C'est un exercice de l'année dernière.
Bonne chance.

C'est un exercice important.
Il a beacoup de methodes.
A vous de jouer.

pour la premiere:
On sait que a²+b² >= 2ab
alor 1/2 a² + 1/2 b² >= ab
de même pour b²+c² et c²+a² puis on additionne on obtient
1/2a² + 1/2b² + 1/2b² + 1/2c² + 1/2c² + 1/2a² >= ab+bc+ca
D'où a²+b²+c² >= ab+bc+ca
Sauf si il y a une erreur

Pour le deuxiéme c'est fastoche :
on a x+y+z>=0

si x<0 et y <0 et z <0

x+y+z <0

donc il existe un nombre de ces trois qui est positif ^^

bon bein vla un exo ^^ :
x>0
factorisez : x^3+9

bah dark tu trouve pa qu'il manque des info's par hasard ??

jposte mon exo :

a, b, c sont 3 nombres reels et positives tel que :

4a²-3b²+3c²=0

Quel est le plu grand de ces nombres (a;b;c)

pour la factorisation:
x^3+9=[(x-2)rac(x+2)-1][(x-2)rac(x+2)+1]

on a :

4a²+3c²=3b²
b² = 4a²/3+c²

puisque 4/3>1 alrs

b² > a²+c²

donc b²>a² et b²>c²
puisqu'ils sont positifs b>a et b>c

sinon on peut supposer que b n'est pas le plus grand notre égalité sera fausse ^^