Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

@nmo: Oui, c'est vrai, la derniére phase est erroné. Mais il y avait une error dans l'énoncé, (x,y,z) sont supposé strictement positives.. Contre exemple: prendre x=y=0 et z=3. Ce qui est n'est pas définie. Ou bien, il faut dire qu'au plus l'un des variables est nulle ^^
Je reprend:
Je voullais juste utiliser des theorémes connus pour s'habituer, et pour leur utilités de ce sujet.. Sinon je peux procéder comme suit:
Solution:
* x+y+z=3 => 2(xy+yz+xz)=9-(x²+y²+z²) , on sait par IAG que: x²+y²+z² >= xy+yz+xz d'ou 2(xy+yz+xz)+xy+yz+xz =< 9 Alors on a: xy+yz+xz =< 3.
* Maintenant j'ai remarqué qu'il suffit de démontrer que: (1)
* On a:
* Alors en emplyant le sigma cyclic, on aura: Ce qui est vrai car
* Par l'AM-HM (Qui est un cas particulier de C.S et prouvable par AM-GM) et en posant:
et et et et et
On aura cette inégalité qui est connu:
Donc:
(1) Permet de dire que Atteint pour
CQFD..

Tu n'a pas bien démontré la relation (1).
Je vais présenter une autre methode maintenant.

A ton avis pourquoi je n'ai pas démontrer bien la relation (1) ?

Pour que tu me comprends bien, nmo: Sigma = la somme des nombres. Alors que j'ai fais la somme de chaque deux nombres, l'un appratient au premier Sigma, et le deuxiéme apartient au deuxiéme, alors la somme de ces trois inégalités qu'on aura aprés simplification représente la relations (1) ^^ Tout est clair, juste révise de nouveau :d

@ trés bientot ^^

Je vous propose cet exercice:
ABC est un triangle et [AD) la bissectrice intérieure de l'angle A.
M et N sont deux points des deux demi-droites [AB) et [AC) successivement, et qui réalisent: MDA=B et NDA=C(angles)
Les deux droites (AD) et (MN) se coupent en P.
Démontrez que AD^3=AB.AC.AP.
Bonne chance.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

@nmo: Oui, c'est vrai, la derniére phase est erroné. Mais il y avait une error dans l'énoncé, (x,y,z) sont supposé strictement positives.. Contre exemple: prendre x=y=0 et z=3. Ce qui est n'est pas définie. Ou bien, il faut dire qu'au plus l'un des variables est nulle ^^
Je reprend:
Je voullais juste utiliser des theorémes connus pour s'habituer, et pour leur utilités de ce sujet.. Sinon je peux procéder comme suit:
Solution:
* x+y+z=3 => 2(xy+yz+xz)=9-(x²+y²+z²) , on sait par IAG que: x²+y²+z² >= xy+yz+xz d'ou 2(xy+yz+xz)+xy+yz+xz =< 9 Alors on a: xy+yz+xz =< 3.
* Maintenant j'ai remarqué qu'il suffit de démontrer que: (1)
* On a:
* Alors en emplyant le sigma cyclic, on aura: Ce qui est vrai car
* Par l'AM-HM (Qui est un cas particulier de C.S et prouvable par AM-GM) et en posant:
et et et et et
On aura cette inégalité qui est connu:
Donc:
(1) Permet de dire que Atteint pour
CQFD..

Tu n'a pas bien démontré la relation (1).
Je vais présenter une autre methode maintenant.

A ton avis pourquoi je n'ai pas démontrer bien la relation (1) ?
Pour que tu me comprends bien, nmo: Sigma = la somme des nombres. Alors que j'ai fais la somme de chaque deux nombres, l'un appratient au premier Sigma, et le deuxiéme apartient au deuxiéme, alors la somme de ces trois inégalités qu'on aura aprés simplification représente la relations (1) ^^ Tout est clair, juste révise de nouveau :d
@ trés bientot ^^

Tu dis que 2x+yz=<3.
Prends ce contre exemple:
x=2, y=1/2, et z=1/2.
Laisse tomber.

Je propose un nouvel exercice:
x, y, z, et t sont des réels vérifiant .
Déterminez la valeur maximale de l'expression sachant que .
Bonne chance.

J'essayerai peut-être de proposer ma solution au dernier exercice de géométrie demain.

Avec un peu de retard, mais elle est là quand même :
Solution au problème :
ADN et ADC sont semblables, et ADM et ABD sont de même semblables.
Donc : et (1)
On en déduit en particulier que AD²=AN.AC et AD²=AM.AB.
Donc : AD^4 = AB.AC.AN.AM
Il reste donc à montrer que AN.AM = AD.AP.
ABC étant un triangle, on a A+B+C=180 en tant qu'angles.
De fait, MDN+A=180, et par suite, le quadrilatère ANDM est inscriptible.
D'après le théorème de Ptolémée appliqué sur ce quadrilatère, on a AD.MN=AN.MD+AM.ND
Mais d'après (1), on a : et
Donc, en continuant sur Ptolémée, on a :
.
Il reste donc à montrer que .
Maintenant, ANM et ABC sont semblables. Par suite, .
Et APN et ABD sont semblables. Par suite, .
Par conséquent, . CQFD.

Dijkschneier a écrit:

Avec un peu de retard, mais elle est là quand même :
Solution au problème :
ADN et ADC sont semblables, et ADM et ABD sont de même semblables.
Donc : et (1)
On en déduit en particulier que AD²=AN.AC et AD²=AM.AB.
Donc : AD^4 = AB.AC.AN.AM
Il reste donc à montrer que AN.AM = AD.AP.
ABC étant un triangle, on a A+B+C=180 en tant qu'angles.
De fait, MDN+A=180, et par suite, le quadrilatère ANDM est inscriptible.
D'après le théorème de Ptolémée appliqué sur ce quadrilatère, on a AD.MN=AN.MD+AM.ND
Mais d'après (1), on a : et
Donc, en continuant sur Ptolémée, on a :
.
Il reste donc à montrer que .
Maintenant, ANM et ABC sont semblables. Par suite, .
Et APN et ABD sont semblables. Par suite, .
Par conséquent, . CQFD.

Très bien, une solution exellente, voire élégante.

Excusez - moi svp J'ai Une question :
Aux olympiades dans les exercices de géométrie peut-on dire que des triangles sont semblables sans à le prouver juste à partir du dessin puisque c'est clair où faut-il le démontrer avec les angles et les côtés ?

Mehdi.O a écrit:

Excusez - moi svp J'ai Une question :
Aux olympiades dans les exercices de géométrie peut-on dire que des triangles sont semblables sans à le prouver juste à partir du dessin puisque c'est clair où faut-il le démontrer avec les angles et les côtés ?

Au Maroc, non, il faut toujours expliquer ce genre de choses. A un niveau plus élevé (j'entends par là le niveau des olympiades internationales), ces considérations, lorsqu'elles ne sont pas fondamentales, peuvent éventuellement être éludées.

Inutile d'enterrer ce sujet, voici un exercice, amusez vous à le faire:
Résolvez aussi en IN² ce système:
.
Bonne chance.

Même si cela vient trop tard, je dois dire:
Grosso modo, on s'est régalé: plus de 60 exercices délicieux à faire.
Je tiens à remercier et féliciter tous les participants.
C'est la fin de ce jeu, et la naissance d'un autre dans le forum de première.
Ce qui manquait le plus dans ce jeu est la numérotation des problèmes, l'absence de gestion surtout lors du commencement...
La porte n'est pas encore fermée, si quelqu'un a quelque chose à dire ou une solution à proposer, je lui dit bienvenu.
Une discussion des exercices non résolu sera créé dans le forum divers.
Au plaisir!

slt svp est ce que vous pouvez me donner la réponse de l'exercice qui est posté sur la page
3 j'ai besoin de lui et j'ai pas trouvé la réponse merci d'avance
IL COMMENCE PAR:
Soit a,b et c des nombres strictement positif

démontrez que



c'est un exercice de nmo

svp pouvez vous montrer que pour tout a et b et c appartenant a IR*+:
b/a+c/b+a/c<=81/4 si cela est vrai d'abord et merci d'avance!

Cela n'est clairement pas vrai.
Prend a=1 et b tendant vers l'infiini.

Ah oui vous avez raison.C'est ma faute dsl.C'est juste une suite de calcul dan un qui m'a tendu a prouver cette inegalite qui est bien clairement fausse . dsl.

oui.la demo de majdouline est juste

oui.la demo de majdouline est juste

[quote="majdouline"][quote="darkpseudo"][quote="majdouline"]y a la solution avec les fonctions(belle et courte)
tu considère la fonction 1/(x+1) qui est croissante sur l'intervalle [0,+00[
on a a<b+c <=>a+1<b+c+1
alors en appliquant 1/(x+1)
on aura:a/(1+a)<(b+c)/(1+b+c)=b/(1+b+c)+c/(1+b+c)<b/(1+b)+c/(1+c)
-------------------------------------------------------------------------
et puis la solution du calcul:(moche et ennuyeuse)
on sait que a<b+c<=>a+ac+ab<b+c+ac+ab<=>a+ac+ab+abc<b+c+ac+ab+2abc+2bc
<=>a(1+c+b+bc)<(b+c+2bc)(1+a)

<=>a(1+c)(1+b)<(b(c+1)(1+a)+c(b+1))(1+a)

<=>a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c)

J'ai un exercice pour vs
1) démontrez que a/b + c/d >= 4(ad+bc)/ (b+d)^2
2) conclure que a/(b+2c+d) + b/(c+2d+a) + c/(d+2a+b) + d/ (a+2b+c)
Bonne chance c po tro dur !!

Amigo-6 , Pour la 2 eme question , je vois vraiment pas ou est la question xD !! Bref J'aii Fait la kestion 1 voila la solution :
On a :
a/b + c/d = (ad + bc)/bd = 4(ad+bc) / 4bd
On compare (b+d)² avec 4bd :
(b+d)²-4bd=b²+d²+2bd-4bd = (b-d)²>0
sa ve dire (b+d)² >= 4bd
donc 1/(b+d)² =< 1/4bd
ce qui ve dire 4(ad+bc)/(b+d)² =< 4(ad+bc)/4bd
C ki ve dire 4(ad+bc)/(b+d)² =< (ad +bc)/4bd
Donc 4(ad+bc)/(b+d)² =< a/b + c/d
Donc a/b + c/d >= 4(ad+bc)/(b+d)² ^^

Ps : Je repete pour la kestion 2 ta pa donné la kestion

ex x)

x et y de IR +*

on a f(x).f(y) - f(xy)= y/x+y/x
calcule f(2)

y a il des règle a savoir avant de passer les olympiades??

f(2)=5/2 ou f(2)=-5/4.

Mehdi passe la démonstration pliz

En fait, on peut même définir cette fonction:
f(x).f(y)-f(xy)=x/y+y/x.
P(1;1): f(1)=2 ou f(1)=-1
P(x;1): 2f(x)-f(x)=x+1/x ou -f(x)-f(x)=x+1/x
Donc f(x)=x+1/x ou f(x)=-1/2(x+1/x). Inversement on trouve que seule x:-> x+1/x est une solution.
Donc je peux omettre f(2)=-5/4 ...