Olympiodiose

majdouline a écrit:

solution du problème (sauf erreur):
on a 2x+3y=xy
on peut remarquer que le cas x<0 et y<0 est impossible(puisque xy sera positif)
donc on a deux cas : x et y sont positifs ou bien l'un est négatif et l'autre est positif)
1)-x et y sont positifs((x,y)£IN²)
si x>y alors 5x>2x+3y=xy alors y<5 d'où y=4 ou y=3 y=2 ou y=1 ou y=0
seuls y=0 et y=3 et y=4 qui vérifient équation d'où ces trois couples de solutions :(0,0) ; (9,3) (6,4)
si x<y alors xy=2x+3y<5y d'où x<5 alors x=4 ou x=3 ou x=2 ou x=1 ou x=0
seul x=4 qui verifie l'equation d'où le couple de solution (4,8 )
-------------------------------------------------------------------------------------
2)-si l'un est négatif et l'autre est positif:
pour x>0 et y<0 on a donc 2x+3y>3y alors xy>3y ---->x<3 d'où x=2 ou x=1
d'où ces deux couples de solutions (1;-1) et (2,-4)
-------------------------------------------------------------
pour x<0 et y>0 2x+3y>2x alors xy>2x d'où y<2 alors y=1
d'où le couple de solution (-3,1)
-----------------------------------------------------------------------------
en collectant nos resultats on aura :
S={(0,0) ; (9,3) (6,4);(4,8 );(1;-1) ; (2,-4);(-3,1)}

just-abdess a écrit:

jolie majdouine ,il te manque une (5,5)

poste un exo

bonne remarque j'ai oublié le cas où x=y...mais c'est édité maintenant...

non faut que x aussi y appartienne

juste une methode plus simple:
x=(-3y)/(2-y)=-3-6/(2-y). psk x ppa a IZ donc 2-y est deviseur de 6.
2-y={1;2;3;6;-1;-2;-3;-6}.
y={1;0;-1;-4;3;4;5;8}.
et c facil de trouver les valeur de x.
P.S majdoulin a oublier le couple 5;5

Une autre solution:

l'équation équivaut : x=(-3y)/(2-y) puisque x £ IZ alors 3y/(y-2) £ IZ
on a : 3y/(y-2)=3-6/(y-2) d'où 6/(y-2)£ IZ
et les diviseur de 6 sont : (-1,1,6,-6,3,-3,2,-2)
alors : y-2=6 --> y=8 --> x=4
y-2=-6--> y=-4 --> x=2
y-2=1 --> y=3 --> x=9
y-2=-1 --> y=1 --> x=-3
y-2=2 --> y=4 --> x=6
y-2=-2 --> y=0 --> x=0
y-2=3 --> y=5 --> x=5
y-2=-3--> y=-1 --> x=1

Majdouline poste ton exo

Voila ma réponse (sauf erreur)
Pour 1/(1-x)


et enfin pour (x-1)/x

(je suis pa trés sur de ma réponse)

nn dsl c'est faux.....tu as fait pour x=1/(1-x)....et tu as remplacé (x-1)/x par le même 1/(1-x)...c pas valable...cherche encore!!

J ai pris x=1/(x-1) et quand j'ai remplacé dans (x-1)/x j ai trouvé 1/(x-1). Ou est l'erreur?

tu as pris x=1/(X-1) et tu as trouvé que (x-1)/x=1/(X-1) alors pour tout x de IR-{0,1} x=(x-1)/x ce qui est faux!!!!Crois moi ce n'est pas la bonne méthode comme ce n'est pas le bon résultat!!!

Ma seconde réponse(sauf erreur bien sur)
Pour x=(x-1)/x
(1)
Pour x=-1/(x-1)


On remplace ds (1) et on trouve:

et on déduit que:

(j'espere que c'est la bonne réponse)

En attente de confirmation voila mon problème:
Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3:

deleted

.

Thalès a écrit:

Bon, j'ai pensé à un raisonnement par absurde : (sauf erreur biensur)
On suppose que : 1/3^3+1/4^3+...+1/n^3 >=1/12
Donc :
(1/3^3+1/4^3+...+1/n^3)(3^3+4^3+...+n^3)>1/12(3^3+4^3+...+n^3)
>1/12(n(n+1)/2)²-9/12>25/12 (pour tout n>=3) (*)
Donc la valeur minimale du produit est 25/12 pour tout n>=3
On a pour tout n>=3 :
(1/3^3+1/4^3+...+1/n^3)(3^3+4^3+...+n^3)>(n-2)² (d'après C.S)
Donc (n-2)²>=25/12 pour tout n>=3 (ce qui n'est pas valable pour n=3 et n=4)
Donc contradiction, d'où le résultat

(*) j'ai utilisé le fait que : 1+2^3+3^3+...+n^3 = (n(n+1)/2)²

la négation de pour tout n£IN:p(n) est il existe n de IN :7p(n)!!!!

Oui pardon j'ai pas fait attention...

1/3^3+1/4^3+...+1/n^3=<1/12
<=> 1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+...+1/n^3=<29/24
Or : 1+1/2^3+1/3^3+...+1/n^3<1+1/2^3+1/3^3+... = ζ(3) (constante d'apéry)
Et ζ(3)<29/24
D'où le résultat.

oui Thalés...je viens juste de voir cette constante d'Apery sur Wikipédia ...mais je ne trouve pas sa démonstration!!!en tt cas poste un exo!!

Personnellement je ne suis pas satisfait de cette méthode en utilisant le fait que ζ(3)<29/24 juste par calcul, c'est pas vraiment une démonstration...

voici une solution sauf erreur
l'inégalité est equivalent à :



n-2 fois

donc on doit montrer que pour tous n est superieur ou egal à 3



ce qui est vraix donc on sommant on trouve l'inégalité

PS: dsl à la place de > = on a >

mais est ce ζ(3)<1/12??

Thalès poste un exo

bon slt tou le monde voila un exo d'olympiade

demantre ke si a<b en a^3-3a-2<b^3-3b+2

just-abdess a écrit:

voici une solution sauf erreur
l'inégalité est equivalent à :



n-2 fois

donc on doit montrer que pour tous n est superieur ou egal à 3



ce qui est vraix donc on sommant on trouve l'inégalité

PS: dsl à la place de > = on a >

Soit n€N supérieur ou égal à 3
Tu dois démontrer que pour tout n>=k>=3 on a :
1/k^3<1/12(n-2)
Tout ce que tu peux dire c'est ça : 1/n^3<1/12(n-2) (car k=<n)