| | Marathon des équations fonctionnelles |  |
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yasserito
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Ven 15 Avr 2011, 20:02 | |
| Je reponds: - Spoiler:
f( x/2+f(x)/2+y)=2x-f(x)+f(f(y))
supposons qu'il existe un c>=0 tel que f(c)=0
on a alors P(c,c/2): 2c+f(f(c))=0 alors 2c=0 et f(f(c/2))=0 (c>=0 et f(f(c/2))=0)=> c=0
ainsi f(0)=0
P(0,x)=>f(f(x))=f(x) et puisque f est croissante sur IR+ alors elle est injective sur IR+(et puisque elle n'est pas constante)
alors ∀x£IR+ f(x)=x est une solution
Réciproquement, l'identité est la seule solution, d’où le résultat.
sauf erreur!
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yasserito
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Ven 15 Avr 2011, 20:24 | |
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Dernière édition par yasserito le Ven 15 Avr 2011, 21:11, édité 1 fois | |
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Dijkschneier
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Sam 16 Avr 2011, 14:42 | |
| - Sylphaen a écrit:
Pbl 53 :
Trouver toutes les fonctions croissante f : IR+ -> IR+ ( 0 £ IR+) , t.q :
 Solution au problème 53 :- Spoiler:
Soit f une fonction vérifiant l'assertion : P(x,y) : f((f(x)+x)/ 2 + y)=2x-f(x)+f(f(y))
- Si f(0) > 0
P(0,y) ==>f(f(0)/2+y) = f(f(y))-f(0) <f(f(y))
Par croissance, on en déduit que : f(0)/2 + y < f(y)
Maintenant, on a : 2x-f(x)+f(f(y)) = f((f(x)+x)/2+y) > (f(x)+x)/2 + y + f(0)/2
==> 3(x -f(x)) + 2(f(f(y))-y) > f(0)
Soit Q(x,y) l’assertion : 3(x -f(x)) + 2(f(f(y))-y) > f(0)
Q(0,0) ==>-3f(0)+2f(f(0)) > f(0) ==>f(f(0))>2f(0)
Q(f(0),0) ==>3f(0)-3f(f(0))+2f(f(0)) > f(0) ==>2f(0) > f(f(0))
D’où la contradiction.
- Sinon si : f(0)=0
P(0,y) ==> f(y)=f(f(y))
P(x,y) : f((f(x)+x)/2+y)=2x-f(x)+f(y)
P(x,x) ==> f((f(x)+x)/2+x)=2x
D’où la surjectivité de f, et en réutilisant f(y)=f(f(y)), on déduit que f est l’identité sur IR+.
Synthèse :
La seule solution à l'EF est l'identité sur IR+.
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Dijkschneier
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Sam 16 Avr 2011, 18:51 | |
| Problème 54 :
Trouver toutes les fonctions de IR vers IR qui vérifient : f(x²-y²)=(x-y)(f(x)+f(y)) | |
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darkpseudo
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Sam 16 Avr 2011, 19:11 | |
| Solution : - Spoiler:
Pour x=y
f(0)=0
Pour x=-x et y=-y
f(x^2-y^2)=-(x-y)(f(-x)+f(-y))=(x-y)(f(x)+f(y)) si y=0 et x différent de 0 :
-xf(-x)=xf(x) donc la fonction est impair .
P(x,-1) : f(x^2-1)=(x+1)(f(x)-f(1))=(x-1)(f(x)+f(1))
xf(x)+f(x) - xf(1)-f(1)=xf(x)+xf(1)-f(x)-f(1)<==> 2xf(1)=2f(x)<==> xf(1)=f(x)
réciproquement toute les fonctions linéaires vérifient l'énoncé .
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Dijkschneier
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Sam 16 Avr 2011, 22:47 | |
| En voici une que je viens de construire :
Problème 55 : (* : une étoile, jusqu'à ** : deux étoiles)
Trouver toutes les fonctions f : IR --> IR qui vérifient : f(x-f(y))=f(x)+f(f(y))-2xf(y) | |
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Mehdi.O
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 12:53 | |
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Dernière édition par Mehdi.O le Dim 17 Avr 2011, 13:07, édité 1 fois | |
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Dijkschneier
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 13:06 | |
| Révise ta solution...
On n'a pas la surjectivité. | |
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abdelbaki.attioui
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 14:39 | |
| Problème 55 : (* : une étoile, jusqu'à ** : deux étoiles)
Trouver toutes les fonctions f : IR --> IR qui vérifient : f(x-f(y))=f(x)+f(f(y))-2xf(y)
x=f(y) ==> f(0)=2f(f(y))-2f(y)² On pose g(x)=f(x)-x²
==>f(x-f(y))=f(x)+f(y)² +f(0)/2-2xf(y)=(x-f(y))² -x²+f(x)+f(0)/2
==> f(x-f(y))-(x-f(y))² =-x²+f(x)+f(0)/2
==> g(x-f(y))=g(x)+f(0)/2
==> g(x+f(y))+f(0)/2=g(0)=f(0)
==> g(x+f(y))=f(0)/2
==> g =f(0)/2
==> f(x)=x²+f(0)/2 ===> f(0)=0 ==> f(x)=x²
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yasserito
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 15:03 | |
| - Dijkschneier a écrit:
- Révise ta solution...
On n'a pas la surjectivité. Mais on peut la demontrer je crois. Je donne ma solution apres... | |
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Dijkschneier
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 15:14 | |
| - abdelbaki.attioui a écrit:
x=f(y) ==> f(0)=2f(f(y))-2f(y)² On pose g(x)=f(x)-x²
==>f(x-f(y))=f(x)+f(y)² +f(0)/2-2xf(y)=(x-f(y))² -x²+f(x)+f(0)/2
==> f(x-f(y))-(x-f(y))² =-x²+f(x)+f(0)/2
==> g(x-f(y))=g(x)+f(0)/2
==> g(x+f(y))+f(0)/2=g(0)=f(0)
==> g(x+f(y))=f(0)/2
==> g =f(0)/2
==> f(x)=x²+f(0)/2 ===> f(0)=0 ==> f(x)=x²
Bien ! Sans substitution, cela devient un peu plus astucieux. | |
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Mehdi.O
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 15:30 | |
| - abdelbaki.attioui a écrit:
- Problème 55 : (* : une étoile, jusqu'à ** : deux étoiles)
Trouver toutes les fonctions f : IR --> IR qui vérifient : f(x-f(y))=f(x)+f(f(y))-2xf(y)
x=f(y) ==> f(0)=2f(f(y))-2f(y)² On pose g(x)=f(x)-x²
==>f(x-f(y))=f(x)+f(y)² +f(0)/2-2xf(y)=(x-f(y))² -x²+f(x)+f(0)/2
==> f(x-f(y))-(x-f(y))² =-x²+f(x)+f(0)/2
==> g(x-f(y))=g(x)+f(0)/2
==> g(x+f(y))+f(0)/2=g(0)=f(0)
==> g(x+f(y))=f(0)/2
==> g =f(0)/2
==> f(x)=x²+f(0)/2 ===> f(0)=0 ==> f(x)=x²
Bonjour, ce qui est rouge est faux, puisque g(x+f(y))+f(0)/2=g(x) et non g(0), ainsi en rapportant on trouve que g(f(y))=0 ce qui ne nous permet pas de conclure est la fonction nulle sauf si f est surjective ... Amicalement | |
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abdelbaki.attioui
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 16:06 | |
| - Mehdi.O a écrit:
- abdelbaki.attioui a écrit:
- Problème 55 : (* : une étoile, jusqu'à ** : deux étoiles)
Trouver toutes les fonctions f : IR --> IR qui vérifient : f(x-f(y))=f(x)+f(f(y))-2xf(y)
x=f(y) ==> f(0)=2f(f(y))-2f(y)² On pose g(x)=f(x)-x²
==>f(x-f(y))=f(x)+f(y)² +f(0)/2-2xf(y)=(x-f(y))² -x²+f(x)+f(0)/2
==> f(x-f(y))-(x-f(y))² =-x²+f(x)+f(0)/2
==> g(x-f(y))=g(x)+f(0)/2
==> g(x+f(y))+f(0)/2=g(0)=f(0)
==> g(x+f(y))=f(0)/2
==> g =f(0)/2
==> f(x)=x²+f(0)/2 ===> f(0)=0 ==> f(x)=x²
Bonjour, ce qui est rouge est faux, puisque g(x+f(y))+f(0)/2=g(x) et non g(0), ainsi en rapportant on trouve que g(f(y))=0 ce qui ne nous permet pas de conclure est la fonction nulle sauf si f est surjective ...
Amicalement Effectivement, bien vu. On peut dire que la relation g(x-f(y))=g(x)+f(0)/2, et si f est continue non nulle, donne g constante car g admet plusieurs "anti-périodes" | |
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Mehdi.O
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 17:20 | |
| Oui elle est périodique, mais je ne crois pas que cela veut dire qu'elle est constate, car en prenant respectivement des valeurs k_i on a g(x+k_i)=g(x) sauf que k_i= f(y) ce qui ne garantit pas que ce k_i parcout tout IR.
La surjectivité est la clé de cette E.F .. Si tôt cela est démontré on conclut que f(x) =x² | |
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yasserito
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 19:02 | |
| on doit trouver au moins un y tel que quel que soit x£IR+ on a f(y)=x
f(y)=x =>f(0)=2f(x)-2x² => f(x)=x² ainsi y²=x alors y=Vx ou y=-Vx ainsi f est surjective
et f(x)=x² . sauf erreur | |
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M.Marjani
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 20:36 | |
| @Yasserito: Il te reste de montrer la continueté du f en 0 et supposer plutôt que x£IR puisque f pair .
La continueté du f se démontre de la maniére suivante:
lim (x-->0+) [f(x)- x_0]/[x- x_0] = lim (x-->0+) (x²/x) = 0 = lim (x-->0-)
Dernière édition par M.Marjani le Dim 17 Avr 2011, 21:42, édité 2 fois | |
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Mehdi.O
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 20:38 | |
| - M.Marjani a écrit:
- abdelbaki.attioui a écrit:
- Problème 55 : (* : une étoile, jusqu'à ** : deux étoiles)
Trouver toutes les fonctions f : IR --> IR qui vérifient : f(x-f(y))=f(x)+f(f(y))-2xf(y)
x=f(y) ==> f(0)=2f(f(y))-2f(y)² On pose g(x)=f(x)-x²
==>f(x-f(y))=f(x)+f(y)² +f(0)/2-2xf(y)=(x-f(y))² -x²+f(x)+f(0)/2
==> f(x-f(y))-(x-f(y))² =-x²+f(x)+f(0)/2
==> g(x-f(y))=g(x)+f(0)/2==> g(x+f(y))+f(0)/2=g(0)=f(0)
==> g(x+f(y))=f(0)/2
==> g =f(0)/2
==> f(x)=x²+f(0)/2 ===> f(0)=0 ==> f(x)=x²
Desolé, mais on n'a plus g(x)=f(x)-x² => g(x-f(y))=f(x-f(y))-x² sauf si f(y)=0 ou x=0. Car, dans cette étape, vous n'avez plus f surjective, ni g . Cela necessite d'explications . Cela a été cité plus haut. | |
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M.Marjani
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 20:42 | |
| - Mehdi.O a écrit:
- Cela a été cité plus haut.
Je parle de l'impilcation précedante . - yasserito a écrit:
- on doit trouver au moins un y tel que quel que soit x£IR+ on a f(y)=x
f(y)=x =>f(0)=2f(x)-2x² => f(x)=x² ainsi y²=x alors y=Vx ou y=-Vx ainsi f est surjective
et f(x)=x² . sauf erreur Et d'ou tires-tu f(0)=0 ? ..
Dernière édition par M.Marjani le Dim 17 Avr 2011, 21:43, édité 3 fois (Raison : fautes de frappe..) | |
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Mehdi.O
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 20:44 | |
| - M.Marjani a écrit:
- Mehdi.O a écrit:
- Cela a été cité plus haut.
Je parle de l'implcation précedante .
- yasserito a écrit:
- on doit trouver au moins un y tel que quel que soit x£IR+ on a f(y)=x
f(y)=x =>f(0)=2f(x)-2x² => f(x)=x² ainsi y²=x alors y=Vx ou y=-Vx ainsi f est surjective
et f(x)=x² . sauf erreur
Et d'ou tires-tu f(0)=0 ? Même remarque, je n'ai pas compris yasserito comment tu es passé de l'équation f(y)=x à f(0). D'autre part pour démontrer la surjectivité il faut partir d'une équivalence, dans ton cas ce n'est qu'une implication .. | |
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yasserito
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 20:54 | |
| f(0)=0 peut se tirer en prenant f(c)=0 et p(c,y) donne directement f(0)=0 ! | |
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Mehdi.O
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 20:55 | |
| f(c)=0 nécessite le fait que f soit surjective, en d'autres termes que 0 a un antécédant dans IR, or nous ne possédons pas cette condition .. | |
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M.Marjani
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 21:15 | |
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Dernière édition par M.Marjani le Dim 17 Avr 2011, 21:42, édité 1 fois | |
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Dijkschneier
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 21:34 | |
| Vue le tournant que prend ce marathon, je crois qu'il est temps de le faire arrêter.
Merci à tous ceux qui y ont participé. | |
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Mehdi.O
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Dim 17 Avr 2011, 21:37 | |
| - Dijkschneier a écrit:
- Vue le tournant que prend ce marathon, je crois qu'il est temps de le faire arrêter.
Merci à tous ceux qui y ont participé. Tu es sérieux là  ? | |
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abdelbaki.attioui
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| | Sujet: Re: Marathon des équations fonctionnelles Lun 18 Avr 2011, 10:46 | |
| Problème 55 : (* : une étoile, jusqu'à ** : deux étoiles)
Trouver toutes les fonctions f : IR --> IR qui vérifient : f(x-f(y))=f(x)+f(f(y))-2xf(y)
Dans toute la suite on suppose f continue
x=f(y) ==> f(0)=2f(f(y))-2f(y)² On pose g(x)=f(x)-x²
g est constante sur f(IR) qui est un intervalle de IR
==>f(x-f(y))=f(x)+f(y)² +f(0)/2-2xf(y)=(x-f(y))² -x²+f(x)+f(0)/2
==> f(x-f(y))-(x-f(y))² =-x²+f(x)+f(0)/2
==> g(x-f(y))=g(x)+f(0)/2
S'il existe un a : f(a)=0
==> f(0)=2f(f(a))-2f(a)²
==> f(0)=2f(0)
==> f(0)=0 ==> g(0)=0
Donc g(x-f(y))=g(x) <==> g(x+f(y))=g(x) alors g est périodique
L'ensemble P des périodes est un sous groupe additif de IR contenant f(IR) qui est un intervalle de IR
si f n'est pas constante ==> P est dense ==> g constante nulle ==> f(x)=x²
si f est constante ==> f=0
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