Marathon de l'arithmétique

Ce problème a été posté plusieurs fois dans ce forum, donc je vois pas l'utilité de le résoudre une fois de plus....

Ok je vais le changer

Montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels non nuls x et y tel que

0000

Tu pourrais donné quelques exemples de ta suite par exemple b3=? et b4? ; car là j'ai pas bien compris ce que tu voulais dire , et merci .

b1=0, b2=1=0²+1², b3=2=1²+1², b4=4=0²+2², b5=5=1²+2², b6=8=2²+2², b7=9=0²+3², b8=10=1²+3², b9=13=2²+3², b10=16=0²+4², b11=17=1²+4².....
la suite comporte tous les nombres, en ordre strictement croissant, qui sont la somme de deux carrés.....

si d=2k+1 est impair , alors en prenant un c assez grand on a :
b_(n+1)=(k+1)²+c² et b_n=k²+c² alors b_(n+1)-b_n=2k+1 =d et ceci est vérifié une infinité de fois . Si d est pair je n'est pas encore trouvé .
PS: Ce problème a été proposé pendant assez longtemps merci de proposé une solution complète et de poster un autre problème pour continuer le jeu . Amicalement .

c'est totalement faux, deux termes consécutifs dans la suite ne s’écrivent pas nécessairement de la même façon "k^2+c^2 ".
La solution est plus compliquée que ça je pense, pense à utiliser les résidus quadratiques (théo dirichlet) je t'invite à regarder un exo dans la partie algèbre sujet du marathon.

Je posterai une solution la nuit, Inshallah.

Voici un autre:

M.Marjani a écrit:

Voici un autre:

Soit a, b, et c trois entiers positives, et qu'il n'existe pas deux entre eux qui ont un diviseur commun plus grand que 1. Prouver que 2abc − ab − bc − ca est le plus grand entier qui ne peux pas être écrit sous la forme xab+yca+zab, ou x,y, et z sont des non-negative entiers.

je pense qu'il y a une faute dans cet exercice .

0000

0000

0000 a écrit:

je propose cet exo

...

D'ailleurs si m=5, on aura n=11, c'est à dire (n,m)=(11,5) est une autre solution

(0,0)est une solution.Pour (m,n)appartenant à [1,+infini[l'équation est équivalente à

ouais mais on cherche n ,non n² ,car sum 3^k n'est pas forcément un carré parfait

0000 a écrit:

je propose cet exo

Si est pair alors l'equation est equivalente à ou cela veut dire que est l'un des solutions vérifiant et ainsi pour un certain on a ainsi et on vérifie facilement que sont solution, si est impair alors on peut remarquer que l'equation est equivalente à ou on a posé maintenant si sont les couples des solutions de l'equation alors l'equation initiale admet une solution si et seulement si la suite contient des puissances de maintenant il n'est pas difficile de montrer que si et comme c_5 possède un diviseur premier différent de 3 ceci prouve que c_k ne contient pas des puissances de 3 pour ainsi on vérifie facilement les solutions pour

J'ai tres bien compris

La première partie de la solution est assez clair , la seconde est un peu plus subtile et difficile a assimilée si on ne connais pas bien les équations de Pell . Bien propre comme solution .

voici un autre problème:
xy/x²+y²-x
démontrez que x est un carré parfait.

!!!!

Supposer que x=ga et y=gb, où a et b n'ont pas de facteurs premiers en commun.

Puis g^2ab|g^2a^2+g^2b^2-ga => gab|ga^2+gb^2-a => g|a

Mais on a a|ga^2+gb^2-a aussi ==> a|gb^2 => a|g

Donc, a=g et x=a^2!

désolée pour mon français.

un autre problème:

trouver tous n dans N tel qu'il existe a,b (dans Z) avec n^2=a+b et n^3=a^2+b^2